정사영의 넓이_난이도 중상 (2022년 10월 교육청 고3 기하 30번)

 

 

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$ 인 정삼각형을 밑면으로 하고 높이가 $4+2\sqrt{3}$ 인 정삼각기둥 $\rm ABC-DEF$ 와 $\overline{\rm DG}=4$ 인 선분 $\rm AD$ 위의 점 $\rm G$ 가 있다. 점 $\rm H$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 삼각형 $\rm CGH$ 의 평면 $\rm ADEB$ 위로의 정사영은 정삼각형이다.

(나) 삼각형 $\rm CGH$ 의 평면 $\rm DEF$ 위로의 정사영의 내부와 삼각형 $\rm DEF$ 의 내부의 공통부분의 넓이는 $2 \sqrt{3}$ 이다.

 

삼각형 $\rm CGH$ 의 평면 $\rm ADFC$ 위로의 정사영의 넓이를 $S$ 라 할 때, $S^2$ 의 값을 구하시오.

 

정답 $48$