미분_함수의 그래프와 미분_난이도 상 (2016년 4월 교육청 가형 14번)

다음은 모든 실수 $x$ 에 대하여 $2x-1 \ge ke^{x^2}$ 을 성립시키는 실수 $k$ 의 최댓값을 구하는 과정이다.

$f(x)=(2x-1)e^{-x^2}$ 이라 하자.

$f'(x)=(가)\times e^{-x^2}$

$f'(x)=0$ 에서 $x=-\dfrac{1}{2}$ 또는 $x=1$

함수 $f(x)$ 의 증가와 감소를 조사하면

함수 $f(x)$ 의 극솟값은 $(나)$ 이다.

또한 $\lim \limits_{x \to \infty} f(x)=0, \; \lim \limits_{x \to - \infty} f(x)=0$ 이므로

함수 $y=f(x)$ 의 그래프의 개형을 그리면

함수 $f(x)$ 의 최솟값은 $(나)$ 이다.

따라서 $2x-1 \ge k e^{x^2}$ 을 성립시키는 실수 $k$ 의 최댓값은 $(나)$ 이다. 

위의 (가)에 알맞은 식을 $g(x)$, (나)에 알맞은 수를 $p$ 라 할 때, $g(2) \times p$ 의 값은?

① $\dfrac{10}{e}$          ② $\dfrac{15}{e}$          ③ $\dfrac{20}{\sqrt[4]{e}}$          ④ $\dfrac{25}{\sqrt[4]{e}}$          ⑤ $\dfrac{30}{\sqrt[4]{e}}$

정답 ③