삼각함수의 극한_난이도 상 (2016년 7월 교육청 가형 21번)

그림과 같이 중심이 $\rm O$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원의 둘레를 $n \;(n \ge 4)$ 등분한 점을 $\rm A_1, \; A_2, \; \cdots, \; A_{\it n}$ 이라 하자. 호 ${\rm A}_i {\rm A}_{i+1}(i=1, \;2, \; \cdots, \; n)$ 을 이등분한 점을 ${\rm M}_i$라 하고, 사각형 ${\rm A}_i{\rm M}_i {\rm A}_{i+1}{\rm N}_i$ 가 마름모가 되도록 하는 선분 ${\rm OM}_i$ 위의 점을 ${\rm N}_i$ 라 하자. $n$ 개의 사각형 $\rm A_1M_1A_2N_1$, $\rm A_2M_2A_3N_2$, $\rm A_3M_3A_4N_3$, $\cdots$, ${\rm A}_n{\rm M}_n{\rm A}_{n+1}{\rm N}_n$ 의 넓이의 합을 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \left ( n^2 \times S_n \right )$ 의 값은? (단, ${\rm A}_{n+1} = {\rm A}_1$)

① $\pi ^3$          ② $2\pi^3$          ③ $3\pi^3$          ④ $4\pi^3$          ⑤ $5\pi^3$

정답 ①