미분 접선의 방정식&수열의 극한_난이도 중 (2017년 7월 교육청 나형 29번)

그림과 같이 자연수 $n$ 에 대하여 곡선 $y=x^2$  위의 점 ${\rm P}_n \left ( n, \; n^2 \right )$ 에서의 접선을 $l_n$ 이라 하고, 직선 $l_n$ 이 $y$ 축과 만나는 점을 ${\rm Y}_n$ 이라 하자. $x$ 축에 접하고 점 ${\rm P}_n$ 에서 직선 $l_n$ 에 접하는 원을 $C_n$, $y$ 축에 접하고 점 ${\rm P}_n$ 에서 직선 $l_n$ 에 접하는 원을 $C'_n$ 이라 할 때, 원 $C_n$ 과 $x$ 축과의 교점을 ${\rm Q}_n$, 원 $C'_n$ 과 $y$ 축과의 교점을 ${\rm R}_n$ 이라 하자. $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\overline{{\rm OQ}_n}}{\overline{{\rm Y}_n{\rm R}_n}}=\alpha$ 라 할 때, $100\alpha$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이고, 점 ${\rm Q}_n$ 의 $x$ 좌표와 점 ${\rm R}_n$ 의 $y$ 좌표는 양수이다.)

정답 $50$