수악중독

수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1 = \dfrac{1}{2} ,\; a_{n+1} = a_n (a_n +1)\) (\(n\) 은 자연수) 을 만족한다. \(\dfrac{1}{a_1 +1} + \dfrac{1}{a_2 +1} + \cdots + \dfrac{1}{a_{100}+1}\) 의 정수 부분은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ①

수열 \(\{a_n\}\) 의 일반항이 \[ a_n = \sqrt{4n^2 +99} \;\; (n=1,\;2,\;3, \; \cdots )\] 일 때, \(m \leq a_n < m+1\) 을 만족시키는 자연수 \(m\) 을 \(b_n\) 이라 하자. 예를 들어, \(b_2 =10\) 이다. 수열 \(\{b_n \}\) 의 무한 개의 항 \[ b_k , \; b_{k+1} ,\; b_{k+2} ,\; \cdots\] 가 주어진 순서대로 공차가 \(d\) 인 등차수열을 이룰 때, 자연수 \(k\) 의 최솟값을 \(p\) 라 하자. \(d+p\) 의 값을 구하시오. 정답 \(27\)

다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 부등식 \[ (n-1) \cdot 2^n +3^n \geq 3n \cdot 2^{n-1} \;\;\; \cdots \cdots (*) \] 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. i) \(n=1\) 일 때, \(0 \cdot 2^1 + 3^1 \geq 3 \cdot 1 \cdot 2^0\) 이므로 부등식 \((*)\) 이 성립한다. ii) \(n=k\) (\(k\) 는 자연수) 일 때, 부등식 \((*)\) 이 성립한다고 가정하면 \((k-1)\cdot 2^k + 3^k \geq 3k \cdot 2^{k-1} \cdots \cdots\)㉠ ㉠의 양변에 \(2\) 를 곱한 후 \((가)\) 를 더하고 \(2 \cdot 3^k \) 을 빼면 \(k \cdot ..

수열 \(\{ a_n \}\) 의 제 \(n\) 항 \(a_n\) 을 \(\dfrac{n}{3^k}\) 이 자연수가 되게 하는 음이 아닌 정수 \(k\) 의 최댓값이라 하자. 예를 들어, \(a_1 =0\) 이고 \(a_6 =1\) 이다. \(a_m =3\) 일 때, \(a_m + a_{2m} +a_{3m} + \cdots +a_{9m}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(31\)

수열 \(\{ a_n \}\) 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(a_2 =a_{49} =24\) (나) \(a_{n+2}+a_{n}=a_{n+1}+2n\) 이때, \(\sum \limits_{n=1}^{50} a_n\) 의 값은? ① \(2400\) ② \(2420\) ③ \(2440\) ④ \(2460\) ⑤ \(2480\) 정답 ①

수열 \( \{ a_n \} \) 을 \[ a_1 = 1 , \; a_2 = 2 , \; a_{n+2} = a_{n+1} + \dfrac{a_n}{n+1} \] 으로 정의할 때, 다음은 수열 \( \{ a_n \} \) 의 일반항을 구하는 과정이다. \( b_n = \dfrac{a_n}{n+1} \) 이라 놓으면 \( a_n = (n+1) b_n \) 이므로 \( (n+3) b_{n+2} = ( \;(가)\; ) b_{n+1} + b_n \) \( (n+3) ( b_{n+2} - b_{n+1} ) = - (b_{n+1} - b_n ) \cdots \cdots \) (★) 식 (★) 에 \( n=1 , \; 2 , \; \cdots , \; m-1 \; (m \geq 2 ) \) 를 대입하면 \( 4 (b..

\( n \) 이 자연수일 때, 집합 \( A_n = \{ 1 , \; 2 , \; 3 , \; \cdots , \; n \} \) 에서 집합 \( A_n \) 으로의 함수 \( f \) 중에서 합성함수 \( f \circ f \) 가 항등함수인 \( f \) 의 개수를 \( a_n \) 이라 하자. 다음은 수열 \( \{ a_n \} \) 의 연속한 세 항 사이의 점화식을 구하는 과정이다. 집합 \( A_{n+2} \) 에서 집합 \( A_{n+2} \) 로의 함수 중에서 \( f \circ f \)가 항등함수인 함수 \( f \) 는 다음과 같이 두 가지 경우로 나눌 수 있다. (i) \( f(n+2)=n+2 \) 일 때, 집합 \( A_{n+1} \) 에서 집합 \( A_{n+1} \) 으로의 함수..

수열 \( \{ a_n \} \) 에 대하여 수열 \( \{ T_n \} \) 을 다음과 같이 정의하자.\[ T_n = \dfrac{a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n}{n} \;\; (n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\] 옳은 것만을 보기에서 있는대로 고른 것은? ㄱ. \( a_n = n \) 이면 \( T_{10} = \dfrac{11}{2} \) 이다. ㄴ. 수열 \( \{ a_n \} \) 이 등차수열이면 수열 \( \{ T_n \} \) 도 등차수열이다. ㄷ. 수열 \( \{ T_n \} \) 이 등비수열이면 수열 \( \{ a_n \} \) 도 등비수열이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②

두 수열 \(\{a_n\},\; \{b_n\}\) 의 일반항이 \[a_n = 3n-2,\;\; b_n = -4n+101 \;\;(n=1,\;2,\;3,\; \cdots )\] 일 때, 이 두 수열에서 공통으로 나타나는 모든 항의 합을 구하시오. 정답 441

두 순서도에서 인쇄되는 \( S \) 와 \( T \) 에 대하여 \( S - T \) 의 값은? ① \(-12\) ② \(-10\) ③ \(0\) ④ \(10\) ⑤ \(12\) 정답 ④