수악중독

수학자 드 므와브르에 대하여 다음과 같은 일화가 전해지고 있다. 드 므와브르는 자신의 수면 시간이 매일 \(15\) 분씩 길어진다는 것을 깨닫고, 수면 시간이 \(24\) 시간이 되는 날을 계산하여 그날에 자신이 죽을 것이라고 예측하였다. 그런데 놀랍게도 그날에 수면하는 상태에서 생을 마쳤다. 드 므와브르가 매일 밤 \(12\) 에 잠든다고 가정할 때, 처음 이 사실을 알게 된 날의 수면 시간이 \(14\) 시간이었다면 그날부터 생을 마칠 때까지 깨어있는 시간의 합은? ① \(197\) ② \(205\) ③ \(214\) ④ \(224\) ⑤ \(235\) 정답 ②

다음과 같이 정의된 수열 \(\{a_n\}\) 이 있다.\[ a_1=1,\;\; \dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n} = \dfrac{1}{2}\;\;\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\] \(a_{20}\) 의 값은? ① \(\dfrac{2}{21}\) ② \(\dfrac{4}{21}\) ③ \(\dfrac{5}{21}\) ④ \(\dfrac{2}{7}\) ⑤ \(\dfrac{3}{7}\) 정답 ①

자연수 \(m\) 과 공차가 양수인 등차수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \[a_k \leq m < a_{k+1}\] 이 성립하는 \(k\) 의 값을 \(b_m\) 이라 하자. \(a_1=1,\; b_7=3\) 일 때, \(b_{20}\) 의 값이 될 수 있는 모든 자연수의 합을 구하시오. 정답 \(34\)

첫째항이 \(1\), 공비가 \(3\) 인 등비수열 \(\{a_n\}\) 에서 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라 하자. 수열 \(\{S_n+p\}\) 가 등비수열을 이루도록 하는 상수 \(p\) 의 값은? ① \(1\) ② \(\dfrac{1}{2}\) ③ \(\dfrac{1}{3}\) ④ \(\dfrac{1}{4}\) ⑤ \(\dfrac{1}{5}\) 정답 ②

양의 실수 \(x\) 에 대하여 상용로그 \(\log x\) 의 지표를 \(f(x)\) 라 할 때, 수열 \( \{ a_n \} \) 의 일반항 \(a_n\) 을 \(n\) 자리의 자연수 중 다음 조건을 만족시키는 자연수 \(k\) 의 개수라 하자. (가) \(f(4k)=f(k)\) (나) \( f(5k)=f(k)+1\) 예를 들어, \(n=1\) 일 때 자연수 \(k\) 가 \(2\) 뿐이므로 \(a_1 =1\) 이다. \(a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{10}\) 의 값은? ① \(\dfrac{5}{9} \left ( 10^9 -1 \right ) -1\) ② \(\dfrac{5}{9} \left ( 10^9 -1 \right )\) ③ \(\dfrac{5}{9} \left ( ..

모든 항이 양수인 수열 \(\{a_n \}\) 에 대하여 수열 \(\{b_n \}\) 을 다음과 같이 정의하다. \[{b_n} = \left\{ {\begin{array}{ll}{{{\log }_2}{a_n}}&{\left( {n은 \; 홀수} \right)}\\{{2^{{a_n}}}}&{\left( {n은 \; 짝수} \right)}\end{array}} \right.\] 이때 수열 \(\{b_{2n-1}\}\) 은 공차가 \(3\) 인 등차수열이고, 수열 \(\{b_{2n}\}\) 은 공비가 \(3\) 인 등비수열이라 하자. \(a_1 =a_2 \) 이고 \(b_{2011}=3016\) 일 때, \(b_{2014}\) 의 값은? ① \(2 \cdot 3^{1005}\) ② \(4 \cdot 3^{10..

용량이 \(2000 \rm L\) 인 석유 저장 탱크에 첫째 날 석유 \(100 \rm L\) 를 채우고, 둘째 날은 첫째 날 채운 양의 \(\dfrac{1}{2}\) 을 채운다. 셋째 날은 둘째 날까지 채운 양의 \(\dfrac{1}{3}\), 넷째 날은 셋째 날까지 채운 양의 \(\dfrac{1}{4}, \; \cdots, \; n\; (n \geq 2)\) 째 날에는 \((n-1)\) 째 날까지 채운 양의 \(\dfrac{1}{n}\) 을 채운다. 이때 채운 석유의 양의 총합이 저장 탱크의 절반 이상이 되는 날은 몇 일 째인가? (단, 처음 저장 탱크는 비어 있고, 자연 증발하는 양은 없다.) ① \(17\) ② \(19\) ③ \(21\) ④ \(23\) ⑤ \(25\) 정답 ②

그림과 같이 \(\angle \rm B=90^o\) 이고 선분 \(\rm BC\) 의 길이가 \(6\sqrt{5}\) 인 직각삼각형 \(\rm ABC\) 의 꼭짓점 \(\rm B\) 에서 빗변 \(\rm AC\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm D\) 라 하자. 세 선분 \(\rm AD, \; CD, \; AB\) 의 길이가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 선분 \(\rm AC\) 의 길이를 구하시오. 정답 \(18\)

다음과 같은 규칙에 따라 자연수를 차례로 나열한다. (가) \(1\) 행에는 \(1\) 과 \(2\) 를 차례로 나열한다. (나) \(2\) 행에는 \(1\) 행의 수 \(1\) 과 \(2\) 를 차례로 나열한 후 그 사이에 \(3\) 을 나열한다. (다) \(3\) 행에는 \(2\) 행의 수 \(1,\;3,\;2\) 를 차례로 나열한 후 그 사이사이에 왼쪽부터 차례로 \(4\) 와 \(5\) 를 나열한다. (라) \((n+1)\) 행에는 \(n\) 행의 수를 차례로 나열한 후 그 사이사이에 왼쪽부터 차례로 \(n\) 행에 마지막으로 나열된 수보다 \(1\) 큰 수부터 나열한다. 위와 같은 방법으로 수를 나열하면 다음과 같고 \(4\) 행의 \(4\) 번째 수는 \(7\) 이다. 이때, \(11\) 행의..

모든 성분이 \(0\) 또는 자연수로 이루어진 이차정사각행렬 \(A\) 가 \(A^2 = \left ( \matrix {3 & 2 \\ 1&2} \right ) \) 를 만족시킨다. 행렬 \(A^n \; (n=1,\;2,\;3,\; \cdots)\) 의 모든 성분의 합을 \(a_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{k=1}^{9} a_k\) 의 값은? ① \(2020\) ② \(2028\) ③ \(2036\) ④ \(2044\) ⑤ \(2052\) 정답 ④