수악중독

수열 \(\{ a_n \}\) 의 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라 하자. \[{a_{n+1}} = \left\{ {\begin{array}{ll} {\dfrac{{1 - {a_n}}}{2}}&{\left( {n = 1,\;\;3,\;\;5,\;\; \cdots } \right)}\\ {\dfrac{{{a_n}}}{2} + 1}&{\left( {n = 2,\;\;4,\;\;6,\;\; \cdots } \right)} \end{array}} \right.\] 일때, \(S_m >100,\;\; S_{m+1}>100\) 을 모두 만족시키는 자연수 \(m\) 의 최솟값을 구하시오. 더보기 정답 \(202\)

공차가 \(d_1 ,\; d_2\) 인 두 등차수열 \(\{a_n \},\; \{b_n \}\) 의 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 각각 \(S_n ,\; T_n\) 이라 하자. \[S_n T_n = n^2 \left ( n^2 -1 \right )\] 일 때, 에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(a_n =n\) 이면 \(b_n = 4n-4\) 이다. ㄴ. \(d_1 d_2 = 4\) ㄷ. \(a_1 \ne 1\) 이면 \(a_n =n\) 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

수열 \(\{a_n\}\) 은 다음과 같이 자연수 중에서 \(3\) 의 배수를 제외한 나머지 자연수를 작은 수부터 순서대로 나열한 것이다. \[\{a_n\}\;:\; 1,\;2,\;4,\;5,\;7,\;8,\;10,\;11,\;13,\;14,\;16, \; \cdots\] 이때, 수열 \(\{b_n\}\) 을 다음과 같이 정의하자.\[{b_n} = \left\{ {\begin{array}{ll} {\dfrac{{{a_n}}}{2}}&{\left( {{a_n} 이\; 짝수일\; 때 } \right)}\\ {{a_n} - 1}&{\left( {{a_n} 이\; 홀수일 \;때 } \right)} \end{array}{\rm{ }}\;\;\;\left( {n = 1,\;2,\;3,\; \cdots } \righ..

수열 \(\{a_n\}\) 에서 \[\sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{a_1 + a_2 + \cdots + a_k }{k!} = \left ( n+ \dfrac{3}{2} \right ) ^2 \;\; (n=1,\;2,\;3,\; \cdots )\] 일 때, \(\dfrac{4}{5}a_1 +a_4\) 의 값은? ① \(197\) ② \(198\) ③ \(199\) ④ \(200\) ⑤ \(201\) 정답 ①

자연수 \(n\) 에 대하여 연립부등식 \[ \dfrac{|x|}{\left ( \dfrac{1}{2} \right )^{2n-1}} + \dfrac{|y|}{\left ( \dfrac{1}{2} \right ) ^{2n}} \leq 1, \;\;\;\; \dfrac{|x|}{\left ( \dfrac{1}{2} \right )^{2n+1}} + \dfrac{|y|}{\left ( \dfrac{1}{2} \right ) ^{2n}} \geq 1 \] 을 만족시키는 좌표평면 위의 점 \((x,\; y)\) 가 나타내는 영역의 넓이를 \(a_n\) 이라 하자. 수열 \(\{ a_n\}\) 의 첫째항부터 제\(n\) 항까지의 합 \(S_n\) 에 대하여 \(\log _{\frac{1}{2}} (1-5S_{10..

다음과 같이 소수점 아래에 \(0\) 과 \(1\) 의 개수를 한 개씩 늘려가면서 교대로 나열하여 만든 실수 \(x\) 가 있다. \[x=0.01001100011100001111\cdots\] 실수 \(x\) 의 소수점 아래 \(n\) 째 자리의 수를 \(a_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{k=1}^{m} a_k a_{k+1} =50\) 을 만족시키는 자연수 \(m\) 의 값을 구하시오. 정답 \(126\)

오른쪽 순서도에서 인쇄되는 \(n\) 의 값을 구하시오. (단, \(50!=50 \times 49 \times 48 \times \cdots \times 2 \times 1\) ) 정답 \(22\)

그림과 같이 자연수 \(n\) 에 대하여 곡선 \(y=2^x\) 위의 점 \({\rm A}_n\) 을 지나고 \(y\) 축에 수직인 직선이 곡선 \(y=3^x\) 과 만나는 점을 \({\rm B}_n\) 이라 하자. 또, 점 \({\rm B}_n\) 을 지나고 \(x\) 축에 수직인 직선이 곡선 \(y=2^x\) 과 만나는 점을 \({\rm A}_{n+1}\) 이라 하자. 점 \(\rm A_1\) 의 \(x\) 좌표가 \(1\) 일 때, \(\sum \limits_{n=1}^{10} \overline{{\rm A}_n {\rm B}_n}\) 의 값은? ① \(1-\log_3 2\) ② \(\log_2 3 -1\) ③ \(\left ( \log_2 3 \right )^{10} -1\) ④ \(1- \lef..

다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 등식 \[\sum \limits_{k=1}^n (2k+1) \left ( \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} +\cdots + \dfrac{1}{n} \right ) = \dfrac{n(n+5)}{2}\] 가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (i) \(n=1\) 일 때, (좌변)=\(3\), (우변)=\(3\) 이므로 주어진 등식이 성립한다. (ii) \(n=m\;(n \geq 1)\) 일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 \[\sum \limits_{k=1}^m (2k+1) \left ( \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} +\cdots + \dfrac{1}..

민영이는 \(K\) 은행의 아름다운 통장에 \(2011\) 년 초부터 \(2020\) 년 초까지 매년 초에 \(a\) 만 원씩 적립한 후 \(2020\) 년 말에 이 통장에 있는 모든 돈을 찾아서 \(2021\) 년 초에 미래연금통장에 입금하여 \(2021\) 년 말부터 \(2030\) 년 말까지 매년 \(954\) 만 원씩 연금을 받으려고 한다. 두 개의 통장 모두 연이율 \(6%\) 로 \(1\) 년마다 복리로 계산할 때, \(a\) 의 값은? (단, \((1.06)^{10} =1.8\) 로 계산하고, \(2030\) 년 말에 마지막으로 연금을 받고 나면 미래연금통장의 잔액은 \(0\) 원이다.) ① \(400\) ② \(450\) ③ \(500\) ④ \(550\) ⑤ \(600\) 정답 ③