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목록(8차) 수학1 질문과 답변/수열 (256)
수악중독
다음은 모든 자연수 \( n \) 에 대하여 부등식 \( 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n} \geq 2 \left\{ \dfrac{1}{1 \cdot 2 } + \dfrac{1}{2\cdot 3 } + \cdots + \dfrac {1}{n(n+1)} \right\} \) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다. (i) \( n=1 \) 일 때, \( (좌변)=1 \geq 2 \times \dfrac {1}{1 \cdot 2 } = (우변) \) 이므로 주어진 부등식은 성립한다. (ii) \( n=k \; (k \geq 1 ) \) 일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면 \( 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{k} \..
수열 \(\{a_n\}\) 이 다음 조건을 만족시킬 때, \(\sum \limits_{n=1}^{10} a_n\) 의 값을 구하시오. (가) \(a_1 =1\) (나) \(\{a_n\}\) 의 계차수열 \(\{b_n\}\) 에 대하여 \(b_n =2n-1\) 이다. 정답 295
수열 \(\{a_n \}\) 에서 \(a_n = \sin \dfrac{n \pi}{4}\) 일 때, \(\sum \limits_{n=1}^{32} n a_n ^2\) 의 값을 구하시오. 정답 256
수열 \(\{a_n \}\) 이 \(a_1 =1\) 이고, 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \[\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = 1- \dfrac{1}{(n+1)^2}\] 을 만족시킬 때, \(100 a_{10}\) 의 값을 구하시오. 정답 55
다음 순서도에서 인쇄되는 \(S\) 의 값은? ① \(\dfrac{5}{32}\) ② \(\dfrac{5}{16}\) ③ \(\dfrac{15}{32}\) ④ \(\dfrac{5}{8}\) ⑤ \(\dfrac{25}{32}\) 정답 ①
첫째항이 \(1\), 공차가 \(3\) 인 등차수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 부등식 \[\left | x- a_n \right | \ge \left | x-a_{n+1} \right | \;(n \ge 1)\] 을 만족시키는 \(x\) 의 최솟값을 \(b_n\) 이라 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(b_1 = \dfrac{a_1 +a_2}{2}\) ㄴ. 수열 \(\{a_n\}\) 은 공차가 \(\dfrac{3}{2}\) 인 등차수열이다. ㄷ. \(\sum \limits_{n=1}^{10} b_n =160\) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
수열 \(\{ a_n\}\) 은 첫째항이 \(2\), 공비가 \(-\dfrac{1}{2}\) 인 등비수열이다. 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 좌표평면 위의 점 \({\rm P}_n\) 의 좌표를 \((n,\;a_n )\), 점 \({\rm Q}_n\) 의 좌표를 \((n,\;0)\) 이라 하자. 삼각형 \({\rm P}_n {\rm Q}_n {\rm Q}_{n+1}\) 의 넓이를 \(A_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{20} A_n\) 의 값은? ① \(2- \left ( \dfrac{1}{2} \right ) ^{19}\) ② \(2- \left ( \dfrac{1}{2} \right ) ^{20}\) ③ \(2+ \left ( \dfrac{1}{2} \right ) ^..
모든 항이 양수인 수열 \(\{a_n \}\) 의 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라 할 때, \[\sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{6S_k}{a_k +3}=S_n \; (n \ge 1)\] 이 성립한다. 다음은 수열 \(\{a_n \}\) 의 일반항을 구하는 과정의 일부이다. 주어진 식에 \(n=1\) 을 대입하면 \(S_1 >0 \) 이므로 \(a_1 = \;\;(가) \;\; \) 이다. \(a_n = \sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{6S_k}{a_k +2} - \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{6S_k}{a_k +3} = \dfrac{6S_n}{a_n +3} \;(n \ge 2) \) 이고 \(a_1 = \df..
좌표평면 위의 점 \({\rm A}_n \;(n=1,\;2,\;3,\; \cdots)\) 을 다음 규칙에 따라 정할 때, 삼각형 \(\rm A_1 A_{17} A_{34}\) 의 넓이는? (가) 점 \(\rm A_1\) 의 좌표는 \((1,\;1)\) 이다. (나) 점 \({\rm A}_{4n-3}\) 을 \(x\) 축의 양의 방향, \(y\) 축의 양의 방향으로 각각 \(4n-3\) 만큼 평행이동한 점은 \({\rm A}_{4n-2}\) 이다. (다) 점 \({\rm A}_{4n-2}\) 를 \(x\) 축의 음의 방향, \(y\) 축의 양의 방향으로 각각 \(4n-2\) 만큼 평행이동한 점은 \({\rm A}_{4n-1}\) 이다. (라) 점 \({\rm A}_{4n-1}\) 을 \(x\) 축의 음의 ..
그림과 같이 \(\rm A_1 (1,\;0),\;\;A_2 (-1,\;0),\;\;A_3 (2,\;0), \;\;A_4 (-2,\;0),\;\;\cdots\) 에 대하여 \(\overline {\rm OA_1}\) 을 지름으로 하는 반원을 \(C_1\), \(\overline{\rm A_1 A_2}\) 를 지름으로 하는 반원을 \(C_2\), \(\overline{\rm A_2 A_3}\) 를 지름으로 하는 반원을 \(C_3\)라 하자. 이와 같은 방법으로 만든 반원 \(C_k\;\;(k=1,\;2,\;3,\;\cdots)\) 의 호의 길이를 \(l_k\) 라 하자. \(\sum \limits_{k=1}^{n} l_k =189 \pi\) 를 만족시키는 \(n\) 에 대하여, \({\rm A}_n\) 의 ..