수악중독

수열 \( a_n \) 이 \( a_1 = \alpha ( \alpha \neq 0 ) \) 이고, 모든 \( n ( n \geq 2 ) \) 에 대하여 \( (n-1)a_n + \sum\limits_{m = 1}^{n-1} ma_m = 0 \) 을 만족시킨다. 다음은 \( a_n = \dfrac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\alpha \; ( n \geq 1 ) \) 임을 수학적귀납법을 이용하여 증명한 것이다. (1) \( n=1 \) 일 때, \( a_1 = \alpha = \dfrac{(-1)^{1-1}}{(1-1)!}\alpha \) 이다. (2) i) \( n=2 \) 일 때, \( a_2 + a_1 = 0 \) 이므로 \( a_2 = - a_1 = \dfrac{(-1)^{2-1}}{(2..

자연수 \( N \) 에 대하여 수열 \( \{a_n\} \) 을 \( a_n = n (n+1)(n+2) \cdots (n + N - 1 ) \) 이라 하자. 모든 자연수 \( n \) 에 대하여 \( \sum\limits_{k = 1}^n a_k = \dfrac{N+n}{N+1}a_n \; \cdots \cdots \cdots \) (★) 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (1) \(n=1\)일 때, \( (좌변)=\sum\limits_{k = 1}^1 a_k = a_1 = (가) \) \( (우변)=\dfrac{N+1}{N+1}a_1 = a_1 = (가) \) 이므로 (★)이 성립한다. (2) \( n=m \) 일 때, (★)이 성립한다고 가정하면 \( \sum\limits_{k = 1}^..

다음은 \( n \geq 2 \) 인 모든 자연수 \( n \) 에 대하여 \( \left( 1 + \dfrac{1}{1^3} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{2^3} \right) \left ( 1 + \dfrac{1}{3^3} \right) \cdots \left( 1 + \dfrac{1}{n^3} \right) < 3 - \dfrac{1}{n} \;\ \cdots \; \) ㉠ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다. (i) \( n=2 \) 일 때 \( (좌변) = \left( 1 + \dfrac{1}{1^3} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{2^3} \right) = \dfrac{9}{4} , \; (우변) = 3 - \dfrac{1}{2} = \..

다음은 \( n \) 부터 \( 2n -1 \) 개의 연속한 자연수의 합에 대하여 \( n + ( n + 1 ) + ( n + 2 ) + \cdots + ( 3n-2 ) = (2n-1)^2 \) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. i) \( n=1 \) 일 때 , \( (좌변)=1 , \; (우변)=1^2 \) 이므로 성립한다. ii) \( n=k \)일 때, 성립한다고 가정하면 \( k + (k+1) + (k + 2) + \cdots + (3k-2) = (2k-1) ^2 \) \( n=k+1 \) 일 때 성립함을 보이자. \( (k+1)+(k+2)+\cdots+(가) \) \( =k+(k+1)+(k+2)+\cdots+(3k-2)+(나)\) \( =(2k-1)^2 + (나) \) \( =(다)..

다음은 수열 \( \{a_n \} \) 에서 일반항 \( a_n \) 이 \( a_n = \sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{1}{k} \) 일 때, \( n \geq 2 \) 인 모든 자연수에 \( n \) 에 대하여 \( n + a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} = n a_n \) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다. i) \( n =2 \) 일 때, \( (좌변)=2+ \dfrac{1}{1} = 3 , \; (우변) = 2 \left( 1 + \dfrac{1}{2} \right) = 3 \) 이므로, 주어진 식이 성립한다. ii) \(n=k \; ( k \geq 2 ) \) 일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하면 \( k + a_1 + a_2 + \c..

그림과 같이 제 \( 1 \) 행에는 \( 1 \) 개, 제 \( 2 \) 행에는 \( 2 \) 행에는 \( 2\) 개, \( \cdots \) , 제 \( n \) 행에는 \( n \) 개의 직사각형을 나열하고 그 안에 다음과 같은 규칙으로 수를 적었다. (가) 제 \( 1 \) 행의 직사각형에는 \( 1 \) 을 적는다. (나) 제 \( n+1 \) 행의 왼쪽 끝 직사각형에는 제 \( n \) 행의 왼쪽 끝 직사각형에 적힌 수보다 \( 1 \) 이 큰 수를 적는다. (다) 제 \( n+1 \) 행의 오른쪽 끝 직사각형에는 제 \( n \) 행의 오른쪽 끝 직사각형에 적힌 수보다 \( 1 \) 이 작은 수를 적는다. (라) 제 \( n+1 \) 행의 안쪽 직사각형에는 그 직사각형에 인접한 제 \( n ..

그림과 같이 [그림 1], [그림 2], [그림 3], \( \cdots \) , [그림 10]의 직사각형의 넓이를 각각 \( a_1 , \; a_2 , \; a_3 , \; \cdots , \; a_{10} \) 이라 하자. \( a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{10} = 880 \) 일 때, \( x \) 의 값을 구하시오. 정답 \(10\)

다음과 같이 \( 1 , \; 3 , \; 5 , \; 7 , \; 9 \) 를 규칙적으로 나열했을 때, 제 \( 20 \) 행에 나열된 수들의 합을 구하시오. 제\(1\)행 \(1\) 제\(2\)행 \(3\) \(5\) \(7\) 제\(3\)행 \(9\) \(1\) \(3\) \(5 \) \(7 \) 제\(4\)행 \(9\) \(1\) \(3\) \(5\) \(7\) \(9\) \(1\) \(\vdots\) \(\vdots\) 정답 \(199\)

모든 항이 양수인 두 수열 \( \{ a_n \} , \; \{ b_n \} \) 이 \(\sum\limits_{k = 1}^n a_k = \sum\limits_{k = 1}^n b_k \) 를 만족할 때, 다음은 모든 자연수 \( n \) 에 대하여 \( \sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{a_{k}^{2}}{a_k + b_k } \geq (다) \sum\limits_{k = 1}^n a_k \) 이 성립함을 증명한 것이다. 절대부등식 \( (x+y)^2 \geq 4xy \) 를 이용하면 \( \sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{a_k b_k}{a _k + b_k} \le \sum\limits_{k = 1}^n {(가)} = \dfrac{1}{2} \sum\limits_..

자연수 \( n \) 에 대하여 \( a_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n} \) 로 정의한다. 다음은 \( 2 \) 이상인 모든 자연수 \( n \) 에 대하여 등식 \( a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-1} = n(a_n -1) \) 이 성립함을 증명한 것이다. (1) \( n=2 \) 일 때, \( (좌변)=(우변)=(가) \) 이므로 주어진 등식은 성립한다. (2) \( n=k \) 일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 \( a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{k-1} = k(a_k -1 ) \) 양변에 \( a_k \) 를 더하면 \( a_1 + a_2 + a_3 + \cdot..