수악중독

좌표평면 위의 원점 \(\rm O\) 와 점 \({\rm P_1}(1,\;0)\) 이 있다. 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 점 \({\rm P}_n (x_n ,\; y_n)\) 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) 동경 \({\rm OP}_n\) 이 나타내는 각의 크기는 \(\dfrac{n-1}{3}\pi\) 이다. (나) \[\overline {{\rm{O}}{{\rm{P}}_{n + 1}}} = \left\{ {\begin{array}{ll} {\dfrac{1}{2}\overline {{\rm{O}}{{\rm{P}}_n}} }&{\left( {{y_n} > 0} \right)}\\[12pt] {\overline {{\rm{O}}{{\rm{P}}_n}} }&{\left( {{y_n} = 0} \rig..

두 수열 \(\{a_n\},\;\{b_n\}\) 이 자연수 \(n\) 에 대하여 \[a_n = 5n+1\] \[b_1=1, \;\; b_{n+1}-b_n=n+1\] 을 만족시킨다. \(10\) 이하인 두 자연수 \(k,\;l\) 에 대하여 \(a_k\) 와 \(b_l\) 의 곱이 홀수가 되는 순서쌍 \((k, \;l)\) 의 개수를 구하시오. 정답 \(30\)

두 등차수열 \(\{a_n\}, \; \{b_n\}\) 에 대하여 \[a_1 +b_1 =45,\;\; \sum \limits_{k=1}^{10} a_k + \sum \limits_{k=1}^{10} b_k=500\] 일 때, \(a_{10}+b_{10}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(55\)

그림과 같은 수도관은 물을 흘려보내면 유실되는 물이 없이 왼쪽으로 \(a%\), 오른쪽으로 \(b%\) 가 흐른다. 일정한 양의 물을 흘려보낸 후 물통 \(A, \;B,\;C,\;D,\;D\) 의 물의 양을 측정하면 물통 \(B, \;C,\;D\) 순으로 등비수열을 이룬다. \(b=p\sqrt{5}-q\) (\(p,\;q\) 는 유리수) 일 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(ab \ne 0\)) 정답 \(100\)

등차수열 \(\{a_n\}\) 의 공차와 각 항이 \(0\) 이 아닌 실수일 때, 방정식 \(a_{n+2}x^2+2a_{n+1}+a_n=0\) 의 한 근을 \(b_n\) 이라 하면 등차수열 \(\left \{ \dfrac{b_n}{b_n+1} \right \} \) 의 공차는? (단, \(b_n \ne -1\)) ① \(-\dfrac{1}{2}\) ② \(-\dfrac{1}{4}\) ③ \(\dfrac{1}{8}\) ④ \(\dfrac{1}{4}\) ⑤ \(\dfrac{1}{2}\) 정답 ①

첫째항이 \(50\), 공차가 정수인 등차수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 수열 \(\{T_n\}\) 을 \[T_n = \left |a_1 +a_2 +a_3 + \cdots +a_n \right |\] 이라 하자. 수열 \(\{T_n\}\) 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(T_{16} T_{18}\) \(T_n>T_{n+1}\) 을 만족시키는 \(n\) 의 최댓값을 구하시오. 정답 \(33\)

등차수열 \(\{a_n\}\) 에서 \(a_3 = 40,\; a_8=30\) 일 때, \( \left | a_2 +a_4 +a_8 + \cdots +a_{2n} \right |\) 이 최소가 되는 자연수 \(n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(22\)

수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\) 이라 하자. 수열 \(\{S_{2n-1}\}\) 은 공차가 \(-3\) 은 등차수열이고, 수열 \(\{S_{2n}\}\) 은 공차가 \(2\) 인 등차수열이다. \(a_2 =1\) 일 때, \(a_8\) 의 값을 구하시오. 정답 \(16\)

수열 \(\{a_n\}\) 이 \[0.23,\;\;0.2323,\;\;0.232323,\;\; 0.23232323,\;\; \cdots\] 일 때, 일반항 \(a_n\) 은 \(a_n=\dfrac{23}{a} \left \{ b- \left ( 10^c \right )^n \right \}\) 이다. \(a+b+c\) 의 값을 구하시오. (단, \(a,\;b,\;c\) 는 정수) 정답 \(98\)

음이 아닌 정수 \(n\) 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 점의 좌표를 \({\rm P}(a_n , \; b_n)\) 이라 하자. (ㄱ) \(a_0=1, \; b_0 =0\) (ㄴ) 점 \({\rm P}(a_{n+1},\; b_{n+1})\) 은 점 \({\rm P}(a_n ,\; b_n)\) 에서 원 \(x^2+y^2=1\) 의 호를 따라 시계 반대 방향으로 \(\dfrac{\pi}{18}\) 만큼 이동한 것이다. 이때, \(a_n =b_n\) 을 만족시키는 \(n\) 은 (가), 그리고 \(c_k = a_{18k} \; (k=1, \;2,\;3,\;\cdots)\) 라 하면 수열 \(\{c_k\}\) 는 공비가 (나)인 등비수열이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 것은? ① 존재하지 않는다. \(-..