수악중독

다항식 $x^3+2$ 를 $(x+1)(x-2)$ 로 나누었을 때의 나머지를 $ax+b$ 라 할 때, $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 상수이다.) 더보기 정답 $7$ 다항식 $x^3+2$ 를 $(x+1)(x-2)$ 로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$ 라고 하면 $x^3+2=(x+1)(x-2)Q(x)+ax+b $ 는 $x$ 에 대한 항등식이다. 위 식의 양변에 $x=-1$ 을 대입하면 $1=-a+b \; \cdots$ ① 위 식의 양변에 $x=2$ 를 대입하면 $10=2a+b \; \cdots$ ② ①, ② 를 연립하면 $a=3, \; b=4$ $\therefore a+b=7$

이차방정식 $x^2-6x+11=0$ 의 서로 다른 두 허근을 $\alpha, \; \beta$ 라 할 때, $11 \left ( \dfrac{\overline{\alpha}}{\alpha}+\dfrac{\overline{\beta}}{\beta} \right )$ 의 값을 구하시오. (단, $\overline{\alpha}, \; \overline{\beta}$ 는 각각 $\alpha, \; \beta$ 의 켤레복소수이다.) 더보기 정답 $14$

다음은 삼차다항식 $P(x)=ax^3+bx^2+cx+11$ 을 $x-3$ 으로 나누었을 때의 몫과 나머지를 조립제법을 이용하여 구하는 과정의 일부를 나타낸 것이다. $P(x)$ 를 $x-4$ 로 나누었을 때의 나머지를 구하시오. (단, $a, \; b, \; c$ 는 상수이다.) 더보기 정답 $23$

자연수 $n$ 에 대하여 $x$ 에 대한 연립부등식 $$\begin{cases} |x-n| \gt 2 & \\ x^2 -14x+40 \le 0 & \end{cases}$$ 을 만족시키는 자연수 $x$ 의 개수가 $2$ 가 되도록 하는 모든 $n$ 의 값의 합을 구하시오. 더보기 정답 $21$

그림과 같이 이차함수 $y=x^2-4x+\dfrac{25}{4}$ 의 그래프가 직선 $y=ax \; (a>0)$ 과 한 점 $\mathrm{A}$ 에서만 만난다. 이차함수 $y=x^2-4x+\dfrac{25}{4}$ 의 그래프가 $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$, 점 $\mathrm{A}$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하고, 선분 $\mathrm{OA}$ 와 선분 $\mathrm{BH}$ 가 만나는 점을 $\mathrm{C}$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{BOC}$ 의 넓이를 $S_1$, 삼각형 $\mathrm{ACH}$ 의 넓이를 $S_2$ 라 할 때, $S_1 - S_2 = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $\..

$49$ 이하의 두 자연수 $m, \; n$ 이 $$\left \{ \left ( \dfrac{1+i}{\sqrt{2}} \right )^m - i^n \right \}^2=4$$ 를 만족시킬 때, $m+n$ 의 최댓값을 구하시오. (단, $i=\sqrt{-1}$ ) 더보기 정답 $94$

두 이차함수 $f(x), \; g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $y=f(x)$ 의 그래프는 $x$ 축과 한 점 $(0, \; 0)$ 에서만 만난다. (나) 부등식 $f(x)+g(x) \ge 0$ 의 해는 $x \ge 2$ 이다. (다) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)-g(x) \ge f(1)-g(1)$ 이다. $x$ 에 대한 방정식 $\{f(x)-k\} \times \{g(x)-k\}=0$ 이 실근을 갖지 않도록 하는 정수 $k$ 의 개수가 $5$ 일 때, $f(22)+g(22)$ 의 최댓값을 구하시오. 더보기 정답 $120$