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곱의 미분법 본문

Calculus/AP Calculus

곱의 미분법

수악중독 2015.10.03 13:53

 \(r(x)=f(x)g(x)\) 일 때, \[r'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\]


먼저 도함수의 정의를 이용하여 \(r'(x)\) 를 표현해 보자.

\[r'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{r(x+h)-r(x)}{h}\]

이제 \(r(x)\) 를 모두 \(f(x)g(x)\)로 바꾸고 식을 약간 변형해 보자.


\[\begin{aligned} r'(x) &= \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\ &= \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)g(x+h)-g(x+h)f(x) + g(x+h)f(x) - f(x)g(x)}{h} \\ &= \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{ \{ f(x+h)-f(x) \} \cdot g(x+h) + f(x) \cdot \{ g(x+h)-g(x) \}  }{h}  \\ &= \lim \limits_{h \to 0} \left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot g(x+h) \right \} + f(x) \cdot \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \end{aligned}\]


이때, \(\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x)\),   \(\lim \limits_{h \to 0} g(x+h) = g(x)\),   \(\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x)\) 이므로

 \[\begin{aligned} r'(x) &= \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot \lim \limits_{h \to 0} g(x+h) + f(x) \cdot \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \\ &= f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \end{aligned}\] 

이 된다. 



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다음은 기하학적인 측면에서 곱의 미분법을 살펴본 것이다. 참고하시길...


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