사차함수의 그래프&미분가능성_난이도 상

함수 $f(x)=x^4-8x^3+18x^2-20$ 과 자연수 $n$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=|f(x)-f(n)+c| \; (단, \; c는 \; 0<c<10인 \; 상수)$$라 하고, 함수 $g(x)$ 가 미분가능하지 않은 실수 $x$ 의 개수를 $a_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^{10} a_n$ 의 값이 홀수일 때, $c+\sum \limits_{n=1}^{10} a_n$ 의 값을 구하시오.

정답 $24$