평면의 방정식_점과 평면 사이의 거리_난이도 중

다음 그림과 같이 직사각뿔 $\rm A-BCDE$ 에서 밑면은 $\overline{\rm BC}=8$, $\overline{\rm BE}=6$ 인 직사각형이고, $\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}=\overline{\rm AD}=\overline{\rm AE}=13$ 이다. 삼각형 $\rm ABE$ 를 포함하는 평면과 선분 $\rm AC$ 가 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라고 할 때, $\sin \theta = \dfrac{q}{p}\sqrt{10}$ 이라고 한다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 서로소인 자연수이다.)

정답 $77$

그림에서처럼 점 $\rm B$ 를 원점으로 하는 3차원 좌표축을 생각하자. 점 $\rm A$ 에서 $xy$ 평면에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라고 하면 $\rm H$ 의 좌표는 직사각형 $\rm BCDE$ 대각선의 교점이 되며 그 좌표는 $(4, \; 3, \; 0)$ 임을 알 수 있다. 따라서  $\overline{\rm BH}=5, \; \overline{\rm AB}=13$ 이고 피타고라스의 정리로부터 $\overline{\rm AH}=12$ 임을 알 수 있다. 

따라서 각 점의 좌표를 다음과 같이 구할 수 있다. $$\rm A(4, \; 3, \; 12), \; B(0, \; 0, \; 0) \\ C(6,\; 0, \; 0), \; E(0, \; 4, \; 0)$$ 평면 $\rm ABE$ 의 법선벡터를 $\overrightarrow{v}=(a, \; b, \; c)$ 라고 하면 $$\overrightarrow{\rm BA} \cdot \overrightarrow{v} = 0$$ $$ \overrightarrow{\rm BE} \cdot \overrightarrow{v} = 0$$ 이어야 하므로 $$(4, \; 3, \; 12) \cdot (a, \; b, \; c) = 4a+3b+12c=0$$ $$ (0, \;4, \;0) \cdot (a, \; b, \; c)=4b=0$$ 따라서 $b=0, \; a=-3c$ 이므로 $\overrightarrow{v} = (3, \; 0, \; -1) $이라고 할 수 있다. 결과적으로 평면 $\rm ABE$ 의 방정식은 $$3x-z=0$$ 이 된다. 이제 점 $\rm C$ 에서 평면 $\rm ABE$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H'$ 라고 하면 $\overline{\rm CH}$ 의 길이는 점 $\rm C$ 에서 평면 $ 3x-z=0$ 까지의 거리와 같으므로 $$\overline{\rm CH} = \dfrac{3 \times 8}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\dfrac{24}{\sqrt{10}}=\dfrac{12}{5}\sqrt{10}$$평면과 직선이 이루는 각을 생각하면 $\theta = \angle \rm CAH'$ 이므로 $$\sin \theta = \dfrac{\overline{\rm CH'}}{\overline{\rm CA}} = \dfrac{12}{5 \times 13}\sqrt{10}=\dfrac{12}{65}\sqrt{10}=\dfrac{q}{p}\sqrt{10}$$

따라서 $p+q=65+12=77$ 이다.