수악중독

그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원 모양의 색종이가 있다. 호 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 두 점 $\rm A, \; P$ 를 연결하는 선을 접는 선으로 하여 색종이를 접는다. $\angle {\rm PAB} = \theta$ 일 때, 포개어지는 부분의 넓이를 $S(\theta)$ 라 하자. $\theta = \alpha$ 에서 $S(\theta)$ 가 최댓값을 갖는다고 할 때, $\cos 2\alpha$ 의 값은? (단, $0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}$) ① $\dfrac{-2+\sqrt{17}}{8}$ ② $\dfrac{-1+\sqrt{17}}{8}$ ③ $\dfrac{\sqrt{17}}{8}$ ④ $\dfrac{1+\..

$x>0$ 에서 정의된 미분가능한 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $xf'(x)-g(x)=0, \;\; f(x)-xg'(x)=0$(나) $f(x) > |g(x)|$(다) $f(1)=3, \;\; g(1)=2$ 함수 $h(x)$ 를 $h(x)=\{f(x)\}^2+\{g(x)\}^2$ 이라 하면, 함수 $h(x)$ 는 $x=\alpha$ 에서 최솟값 $m$ 을 갖는다. $(\alpha m)^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $5$

두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 $$f(x)=\left \{ \begin{array}{ll} 0 & (x \le 0) \\ x & (x>0) \end{array} \right . , \;\; g(x) = \left \{ \begin{array}{ll} x(2-x) & (|x-1| \le 1) \\0 & (|x-1| > 1) \end{array} \right .$$ 이다. 양의 실수 $k, \; a, \; b \;\;(a

함수 $f(x)=\ln \left ( e^x +1 \right ) + 2e^x$ 에 대하여 이차함수 $g(x)$ 와 실수 $k$ 는 다음 조건을 만족시킨다. 함수 $h(x)=|g(x)-f(x-k)|$ 는 $x=k$ 에서 최솟값 $g(k)$ 를 갖고, 닫힌 구간 $[k-1, \; k+1]$ 에서 최댓값 $2e+\ln \left ( \dfrac{1+e}{\sqrt{2}} \right )$ 를 갖는다. $g' \left ( k-\dfrac{1}{2} \right )$ 의 값을 구하시오. (단, $\dfrac{5}{2} < e < 3$ 이다.) 정답 $6$

함수 $f(x)=x^3+3x^2$ 에 대하여 두 함수 $g(t), \; h(t)$ 를 다음과 같이 정의한다. (가) 임의의 실수 $t$ 에 대하여 닫힌 구간 $[t-2, \; t]$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최댓값이 $g(t)$ 이다.(나) 임의의 실수 $t$ 에 대하여 닫힌 구간 $ [t, \; t+2]$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최솟값이 $h(t)$ 이다. 함수 $g(t)$ 가 $t=\alpha$ 에서 미분불가능하고, 함수 $h(t)$ 가 $t=\beta$ 에서 미분불가능할 때, $\alpha + \beta$ 의 값은? ① $-3$ ② $-\dfrac{5}{2}$ ③ $-2$ ④ $-\dfrac{3}{2}$ ⑤ $-1$ 정답 ③

그림과 같이 직선 \(x=-1\) 위의 점 \(\rm P\), 직선 \(x=3\sqrt{3}\) 위의 점 \(\rm Q\), 원점 \(\rm O\) 에 대하여 \(\angle \rm POQ=\dfrac{\pi}{2}\) 이다. 직선 \(x=3\sqrt{3}\) 이 \(x\) 축과 만나는 점을 \(\rm R\) 라 하고, \(\angle \rm QOR = \theta\) 라 할 때, \(\overline{\rm OP} + \overline{\rm OQ}\) 의 최솟값을 구하시오. (단, 점 \(\rm P, \;Q\) 의 \(y\) 좌표는 양수이다.) 정답 \(8\)

그림과 같이 지점 \(\rm P\) 에서 서로 수직으로 만나는 두 직선 도로가 있다. 두 직선 도로 \(\rm PA, \; PB\) 에서 각각 \(\rm 16 km ,\;2km\) 떨어진 마을을 지나고 두 직선 도로를 연결하는 새직선 도로를 건설하려고 한다. 새 직선 도로와 도로 \(\rm PA\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라고 할 때, 새 직선 도로의 길이가 최소이기 위한 \(\tan \theta\) 의 값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(\sqrt{5}\) ④ \(\sqrt{6}\) ⑤ \(2\sqrt{2}\) 정답 ②

그림과 같은 직육면체에서 모든 모서리의 길이의 합이 \(36\) 일 때, 부피의 최댓값을 구하시오. 정답 \(27\)

[그림 1]과 같이 가로의 길이가 \(\rm 12cm\), 세로의 길이가 \(\rm 6cm\) 인 직사각형 모양의 종이가 있다. 네 모퉁이에서 크기가 같은 정사각형 모양의 종이를 잘라 낸 후 남는 부분을 접어서 [그림 2]와 같이 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들려고 한다. 이 상자의 부피의 최댓값을 \(M \rm cm^3\) 이라 할 때, \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}M \) 의 값을 구하시오. (단, 종이의 두께는 무시한다.) 정답 \(24\)

그림과 같이 좌표평면 위에 네 점 \(\rm A(1,\;0), \; B(3, \;0),\;C(3, \;2),\;D(1,\;2)\) 를 꼭짓점으로 하는 정사각형 \(\rm ABCD\)가 있다. 한 변의 길이가 \(2\) 인 정사각형 \(\rm EFGH\) 의 두 대각선의 교점이 원 \(x^2+y^2=1\) 위에 있을 때, 두 정사각형의 내부의 공통부분의 넓이의 최댓값은? (단, 정사각형의 모든 변은 \(x\) 축 또는 \(y\) 축에 수직이다.) ① \(\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}\) ② \(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\) ③ \(\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\) ④ \(\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\) ⑤ \(\dfrac{5\sqrt{2}}{4}\) 정답 ④