미적분1_넓이와 적분&최대최소와 미분_난이도 상 (2017년 9월 평가원 나형 30번)

두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 $$f(x)=\left \{ \begin{array}{ll} 0 & (x \le 0) \\ x & (x>0) \end{array} \right . , \;\; g(x) = \left \{ \begin{array}{ll} x(2-x) & (|x-1| \le 1) \\0 & (|x-1| > 1) \end{array} \right .$$ 이다. 양의 실수 $k, \; a, \; b \;\;(a<b<2)$ 에 대하여 함수 $h(x)$ 를 $$h(x)=k\{f(x)-f(x-a)-f(x-b)+f(x-2)\}$$ 라 정의하자. 모든 실수 $x$ 에 대하여 $0 \le h(x) \le g(x)$ 일 때, $\displaystyle \int_0^2 \{g(x)-h(x)\}\; dx$ 의 값이 최소가 되게 하는 $k, \; a, \; b$ 에 대하여 $60(k+a+b)$ 의 값을 구하시오.

정답 $200$