수악중독

점 $(0, \;0)$ 을 지나는 삼차함수 $y=f(x)$ 에 대하여 함수 $$F(x)= \displaystyle \int_0^x f(t)dt$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $F(x)$ 는 $x=\alpha$ 에서 극대이고, $x=\beta$ 에서 극소이다.(나) $F(\alpha)=2, \;\; F(\beta)=0, \;\; F(\gamma)=4$ $(0

구간 $[0, \;8]$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 는 \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{ - x\left( {x - 4} \right)}&{(0 \le x < 4)}\\{x - 4}&{\left( {4 \le x \le 8} \right)}\end{array}} \right.\] 이다. 실수 $a \; (0 \le a \le 4)$ 에 대하여 $\displaystyle \int_a^{a+4} f(x)dx$ 의 최솟값은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $43$

함수 \(f(x)\) 를 \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{\left| {\sin x} \right| - \sin x}&{\left( { - \frac{7}{2}\pi \le x < 0} \right)}\\{\sin x - \left| {\sin x} \right|}&{\left( {0 \le x \le \frac{7}{2}\pi } \right)}\end{array}} \right.\] 라 하자. 닫힌 구간 \(\left [ - \dfrac{7}{2} \pi , \; \dfrac{7}{2} \pi \right ]\) 에 속하는 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(\displaystyle \int_a^x f(t) dt \ge 0\) 이 되도록 하는 실..

양의 실수 \(k\) 에 대하여 곡선 \(y=k \ln x\) 와 직선 \(y=x\) 가 접할 때, 곡선 \(y= k \ln x\), 직선 \(y=x\) 및 \(x\) 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 \(ae^2 -be\) 이다. \(100ab\) 의 값을 구하시오. (단, \(a\) 와 \(b\) 는 유리수이다.) 정답 \(50\)

반지름의 길이가 \(1\), 중심이 \(\rm O\) 인 원을 밑면으로 하고 높이가 \(2\sqrt{2}\) 인 원뿔이 평면 \(\alpha\) 에 놓여 있다. (단, 원뿔의 한 모선이 평면 \(\alpha\) 에 포함된다.) 그림과 같이 원뿔을 평면 \(\alpha\) 와 평행하고 원뿔의 밑면의 중심 \(\rm O\) 를 지나는 평면으로 자를 때 생기는 단면의 일부분은 포물선이다. 이때 단면의 넓이는? ① \(\dfrac{13}{8}\) ② \(\dfrac{7}{4}\) ③ \(\dfrac{15}{8}\) ④ \(2\) ⑤ \(\dfrac{17}{8}\) 정답 ④

다항함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(0)=2\)(나) \(x>0\) 이면 \(f'(x)>0\) 이다. \(2\) 이상인 자연수 \(n\) 과 \(1 \leq k \leq n\) 인 자연수 \(k\) 에 대하여, 곡선 \(y=f'(x)\) 와 세 직선 \(x=\dfrac{k-1}{n},\; x=\dfrac{k}{n}, \;y=0\) 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(A_n (k)\) 라 하면 \[n^3 \left \{ A_n (1) +A_n (2) + \cdots + A_n (k) \right \} = \dfrac{1}{2}k^3 +2n^2 k\] 가 성립한다.곡선 \(y=xf(x)\) 와 \(x\) 축, \(y\) 축, \(x=1\) 로 둘러싸인 도형의 넓이가 \(\dfra..

그림과 같이 중심이 \(\rm O\) 이고 반지름의 길이가 \(2\) 인 원의 둘레를 \(6\) 등분하는 점을 각각 \(\rm A,\;B,\;C,\;D,\;E,\;F\) 라 하자. 두 점 \(\rm A,\; B\) 에서 두 직선 \(\rm OA,\; OB\) 에 접하는 포물선 \(C_1\) 을 그리고, 두 점 \(\rm B, \;C\) 에서 두 직선 \(\rm OB,\;OC\) 에 접하는 포물선 \(C_2\) 를 그린다. 이와 같은 방법으로 포물선 \(C_3 ,\; C_4 , \; C_5 , \; C_6\) 을 그릴 때, \(6\) 개의 포물선으로 둘러싸인 부분의 넓이는? ① \(2\sqrt{3}\) ② \( \dfrac{5\sqrt{3}}{2}\) ③ \(3\sqrt{3}\) ④ \(\dfrac{7\s..

삼차항의 계수가 각각 \(1, \;2\) 인 두 삼차함수 \(f(x), g(x)\) 및 일차함수 \(y=h(x)\) 의 그래프가 다음과 같다. \(\displaystyle \int _a ^c f(x) dx=-4\), \(\displaystyle \int _b ^c g(x) dx +12=\dfrac{1}{2} (c-b)\{g(b)+g(c)\}\) 일 때, \(y=f(x)\) 의 그래프와 \(x\) 축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이의 곱을 구하시오. 정답 12

그림과 같이 네 점 \( ( 0 , \; 0 ) , \; ( 1 , \; 0 ) , \; ( 1 , \; 1 ) , \; ( 0 , \; 1 ) \) 을 꼭짓점으로 하는 정사각형의 내부를 두 곡선 \( y = \dfrac{1}{2} x^2 , \; y=ax^2 \) 으로 나눈 세 부분의 넓이를 각각 \( S_1 , \; S_2 , \; S_3 \) 이라 하자. \( S_1 , \; S_2 , \; S_3 \) 이 이 순서로 등차수열을 이룰 때, 양수 \( a \) 의 값은?① \(\dfrac{16}{9}\) ② \(\dfrac{17}{9}\) ③ \(2\) ④ \(\dfrac{19}{9}\) ⑤ \(\dfrac{20}{9}\) 정답 ①

그림과 같이 곡선 \( y=f(x) \) 와 직선 \( y=3 \) 으로 둘러 싸인 두 부분 \( A , \; B \) 의 넓이가 각각 \( 10, \; 6 \) 일 때, \[\int_2^7 {\{ f(x) - 3\} {\rm{d}}x} + \int_4^7 {\{ 4 - f(x - 2)\} {\rm{d}}} x\] 의 값은? ① \(0\) ② \(-1\) ③ \(-2\) ④ \(-3\) ⑤ \(-4\) 정답 ④