수악중독

자연수 \(n\) 에 대하여 점 \({\rm P}_n\) 이 \(x\) 축 위의 점일 때, 점 \({\rm P}_{n+1}\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 점 \({\rm P}_1\) 의 좌표는 \(a_1 ,\; 0) \; (0

첫째항이 \(12\) 이고 공비가 \(\dfrac{1}{3}\) 인 등비수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 수열 \(\{b_n\}\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) \(b_1=1\)(나) \(n \geq 1\) 일 때 \(b_{n+1}\) 은 점 \({\rm P}_n \left (-b_n , \; b_n^2 \right )\) 을 지나고 기울기가 \(a_n\) 인 직선과 곡선 \(y=x^2\) 의 교점 중에서 \({\rm P}_n \) 이 아닌 점의 \(x\) 좌표이다. \(\lim \limits_{n \to \infty} b_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(19\)

자연수 \(n\) 에 대하여 점 \({\rm A}_n\) 이 함수 \(y=4^x\) 의 그래프 위의 점을 때, 점 \({\rm A}_{n+1}\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 점 \({\rm A}_1\) 의 좌표는 \((a, \; 4^a )\) 이다. (나) (1) 점 \({\rm A}_n\) 을 지나고 \(x\) 축에 평행한 직선이 직선 \(y=2x\) 와 만나는 점을 \({\rm P}_n\) 이라 한다. (2) 점 \({\rm P}_n\) 을 지나고 \(y\) 축에 평행한 직선이 곡선 \(y=\log _4 x\) 와 만나는 점을 \({\rm B}_n\) 이라 한다. (3) 점 \({\rm B}_n\) 을 지나고 \(x\) 축에 평행한 직선이 직선 \(y=2x\) 와 만나는 점을 \({\rm ..

\(1000\rm mL\) 의 물이 가득 들어 있는 용기가 있다. 이 용기에서 담긴 양의 \(\dfrac{1}{2}\) 을 덜어내고 물 \(300 \rm mL\) 과 알콜 \(100 \rm mL\) 를 다시 넣는 것을 첫 번째 시행이라 하고, 이 시행 후 용기에 남아 있는 양의 \(\dfrac{1}{2}\) 을 덜어내고 물 \(300 \rm mL\) 와 알콜 \(100 \rm mL\) 를 다시 넣는 것을 두 번째 시행이라 하자. 이와 같은 과정을 한없이 반복하다고 할 때, 용기 안에 알콜의 농도(%)는? (단, 자연증발 및 기타 유실량은 무시한다.) ① \(10\%\) ② \(15\%\) ③ \(20\%\) ④ \(25\%\) ⑤ \(30\%\) 정답 ④

수렴하는 두 무한수열 \(\{a_n\},\;\;\{b_n\}\) 에 대하여 \[\left ( \matrix {a_{n+1} \\ b_{n+1}} \right ) = \left ( \matrix { 0.9 & 0.2 \\ 0.1 & 0.8 } \right ) \left ( \matrix { a_n \\ b_n } \right ) \;\;\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\] 으로 정의할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} \dfrac{b_n}{a_n}\) 의 값은? (단, \( a_1 =4,\;\;b_1 =6\)) ① \(\dfrac{1}{3}\) ② \(\dfrac{1}{2}\) ③ \(1\) ④ \(\dfrac{2}{3}\) ⑤ \(2\) 정답 ②

\(6\rm L\) 의 파인애플 주스가 들어 있는 음료수 병 \(\rm P\)와 아무 것도 들어 있지 않는 음료수 병 \(\rm Q\) 가 있다. 첫 번째 시행으로 \(\rm P\) 에 들어 있는 주스의 \(\dfrac{1}{2}\) 을 \(\rm Q\) 로 옮긴 다음, \(\rm Q\) 에 들어 있는 주스의 \(\dfrac{1}{3}\) 을 \(\rm P\) 에 다시 옮긴다. 두 번째 시행으로 \(\rm P\) 에 들어 있는 주스의 \(\dfrac{1}{4}\) 을 \(\rm Q\) 로 옮긴 다음, \(\rm Q\) 에 들어 있는 주스의 \(\dfrac{1}{5}\) 을 \(\rm P\) 에 다시 옮긴다. 이와 같이 \(\rm P\) 에서 \(\rm Q\) 로, \(\rm Q\) 에서 \(\rm P\)..

수직선 위에 두 점 \({\rm A}_1 (a) , \;\; {\rm A}_2 (b) \) 에 대하여 \(\overline {\rm A_1 A_2}\) 를 \(3:1\) 로 내분하는 점을 \(\rm A_3\), \(\overline {\rm A_2 A_3} \) 을 \(3:1\) 로 내분하는 점을 \(\rm A_4 , \cdots\) 와 같이 무한히 점을 잡아나갈 때, 점 \({\rm A}_n\) 의 \(x\) 좌표를 \(x_n\) 이라 하자. 이 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} x_n \) 의 값은? ① \(\dfrac{a+b}{2}\) ② \(\dfrac{a+2b}{3}\) ③ \(\dfrac{a+3b}{4}\) ④ \(\dfrac{a+4b}{5}\) ⑤ \(\dfrac{..

수직선 위의 두 점 \(\rm A_1 (0) ,\; A_2 (90)\) 에 대하여 \(\overline {\rm A_1 A_2}\) 를 \(3:1\) 로 내분하는 점을 \(\rm A_3\), \(\overline{\rm A_2 A_3}\) 를 \(3:1\) 로 내분하는 점을 \(\rm A_4 , \; \cdots , \; \overline{{\rm A}_{\it n} {\rm A}_{{\it n}+1}}\) 을 \(3:1\) 로 내분하는 점을 \({\rm A}_{n+2}\) 라 하자. 점 \({\rm A}_n\) 의 좌표를 \(a_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 72

수열 \(\{a_n\}\) 이 다음과 같이 정의되어 있다. (단, \(a \ne 0\) ) (가) \(a_1 = a\) (나) \({\dfrac{1}{a_{n+1}}} = {\dfrac {2}{a_n}} +3 \;\;(n=1,\; 2,\; 3,\; \cdots) \) \(a_n\) 이 \(0\) 이 아닌 값으로 수렴할 때, 상수 \(a\) 의 값은? ① \(-\dfrac{2}{3}\) ② \(-\dfrac{1}{3}\) ③ \(\dfrac{1}{3}\) ④ \(\dfrac{2}{3}\) ⑤ \(1\) 정답 ② 점화식 풀이법을 잘 모르겠다면 아래 링크를 클릭 [수능 수학/수능수학] - 점화식 정리

함수 \(f(x)\) 가 \( f(x) = \sqrt{x+2}\) 일 때, 오른쪽 그림은 \(y=f(x)\), \(y=x\) 의 그래프이다. 수열 \(\{a_n\}\) 을 \(a_1 =1 , \;\; a_{n+1} =f(a_n ) \;\;\; (n= 1,\;2,\;3,\;\cdots)\) 으로 정의할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} a_n \) 의 값을 구하시오. 정답 2