수악중독

연속함수 \(f(x)\) 가 \(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = \lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1}=a\) 를 만족할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, \(a \ne -1\) 인 상수이다.) ㄱ. \(\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x^3-1} = \dfrac{a}{3}\) ㄴ. \(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{x-f(x)}{x+f(x)} = \dfrac{1-a}{1+a}\) ㄷ. 방정식 \(f(x)\) 은 열린구간 \((0,\;1)\) 에서 적어도 한 개의 실근을 갖는다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

함수 \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{cl}{\dfrac{2}{{x - 2}}}&{\left( {x \ne 0} \right)}\\1&{\left( {x = 2} \right)}\end{array}} \right.\) 와 이차함수 \(g(x)\) 는 다음 두 조건을 만족시킨다. (가) \(g(0)=8\) (나) 함수 \(f(x)g(x)\) 는 모든 실수에서 연속이다. 이때, \(g(6)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(32\)

함수 \(f(x)=x^2-x+a\) 에 대하여 함수 \(g(x)\) 를 \[g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{f\left( {x + 1} \right)}&{\left( {x \le 0} \right)}\\{f\left( {x - 1} \right)}&{\left( {x > 0} \right)}\end{array}} \right.\] 이라 하자. 함수 \(y=\{g(x)\}^2\) 이 \(x=0\) 에서 연속일 때, 상수 \(a\) 의 값은? ① \(-2\) ② \(-1\) ③\(0\) ④ \(1\) ⑤ \(2\) 정답 ②

무한급수 \(a_1 + \left (a_2 -\dfrac{1}{2} \right ) + \left ( a_3 - \dfrac{2}{3} \right ) + \left ( a_4 - \dfrac{3}{4} \right ) + \cdots \) 가 수렴할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(1\)

무한급수 \(\dfrac{x+3}{5}+\dfrac{(x+3)(x-5)}{5^2}+\dfrac{(x+3)(x-5)^2}{5^3}+ \cdots\) 이 수렴하도록 하는 모든 정수 \(x\) 의 합을 구하시오. 정답 \(42\)

무한등비급수 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} (x+1) \left ( 1-\dfrac{x}{4} \right )^{n-1}\) 의 합이 존재하도록 하는 모든 정수 \(x\) 의 합을 구하시오. 정답 \(27\)

자연수 \(n\) 에 대하여 함수 \(y= \log _c |x|\) 의 그래프와 직선 \(y=n\) 의 교좀의 \(x\) 좌표를 각각 \(a_n ,\; b_n \; (a_n >b_n)\) 이라 할 때, 수열 \(\{a_n\},\;\{b_n\}\) 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(a_n+b_n=0\) ㄴ. \(\lim \limits_{n \to \infty} b_n=0\) 이면 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n = \dfrac{c}{1-c}\) 이다. ㄷ. \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{b_n}\) 이 발산하면 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n\) 이 발산한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ,..

함수 \(f(x)\) 에 대하여 불연속점의 개수를 \(N(f)\) 로 나타내자. 예를 들면, \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll} 1&{\left( {x \le 0} \right)}\\0&{\left( {x > 0} \right)} \end{array}} \right.\) 이면 \(N(f)=1\) 이다. 다음 두 함수 \(g(x),\;h(x)\) 에 대하여 \[ a_1=N(g+h),\; a_2=N(gh),\; a_3=N(|h|)\] 라 할 때, \(a_1 ,\; a_2 ,\; a_3\) 의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? (단, \((g+h)(x)=g(x)+h(x),\; (gh)(x)=g(x)h(x),\; |h|(x)=|h(x)|\) 이다.) ① \(a_..

함수 \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{x + 1}&{\left( {x \le 0} \right)}\\{ - \dfrac{1}{2}x + 7}&{\left( {x > 0} \right)}\end{array}} \right.\] 에 대하여 함수 \(f(x)f(x-a)\) 가 \(x=a\) 에서 연속이 되도록 하는 모든 실수 \(a\) 의 값의 합을 구하시오. 정답 \(13\)

두 수열 \(\{a_n\},\; \{b_n\}\) 에 대하여 \[ a_n+b_n=2+\dfrac{1}{n}\;\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\] 일 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(\lim \limits_{n \to \infty}(a_n+b_n)=2\) ㄴ. 수열 \(\{a_n\}\) 이 수렴하면 수열 \(\{b_n\}\) 도 수렴한다. ㄷ. \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n\) 이 수렴하면 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n\) 도 수렴한다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②