수악중독

단면의 넓이가 $120 \left (\rm m^2 \right)$ 로 일정한 원통형의 물탱크에 물이 $5(\rm m)$ 까지 차 있다. 이 물탱크의 바닥 중앙에 있는 넓이 $\dfrac{1}{5} \left (\rm m^2 \right)$ 인 구멍으로 물이 빠지고 있다. 물탱크의 바닥으로부터 수면까지의 높이가 $y(\rm m)$ 일 때, 빠져나가는 물의 속력 $v(\rm m/s)$ 는 $v=\sqrt{20y}$ 로 주어진다고 하자. 다음은 이 식을 이용해서 물의 높이가 $5(\rm m)$ 에서 $\dfrac{5}{4}(\rm m)$ 로 줄어들 때가지 걸리는 시간을 계산한 것이다.$v$ 와 $y$ 가 시간에 따라 변하므로 $v$ 와 $y$ 의 관계식 $v=\sqrt{20y}$ 를 $t$ 에 관하여 미분하여..

지점 \(\rm O\) 와 지점 \(\rm E\) 사이의 거리는 \(40\rm m\) 이다. 오른쪽 그림과 같이 갑은 지점 \(\rm O\) 에서 출발하여 선분 \(\rm OE\) 에 수직인 반직선 \(\rm OS\) 를 따라 초속 \(3 \rm m\) 의 일정한 속력으로 달리고 을은 갑이 출발한 지 \(10\) 초가 되는 순간 지점 \(\rm E\) 에서 출발하여 선분 \(\rm OE\) 에 수직인 반직선 \(\rm EN\) 을 따라 초속 \(\rm 4m \) 의 일정한 속력으로 달리고 있다. 갑과 을의 지점을 연결하여 만든 선분과 선분 \(\rm OE\) 가 만나서 이루는 각을 \(\theta\)(라디안)라 할 떄, 갑이 출발한 지 \(20\) 초가 되는 순간 \(\theta\) 의 변화율은? ① \..

그림과 같이 한 변의 길이가 \(20\) 인 정사각형 \(\rm ABCD\) 에서 점 \(\rm P\) 는 \(\rm A\) 에서 출발하여 변 \(\rm AB\) 위를 매초 \(2\) 씩 움직여 \(\rm B\) 까지, 점 \(\rm Q\) 는 \(\rm B\) 에서 \(\rm P\) 와 동시에 출발하여 변 \(\rm BC\) 위를 매초 \(3\) 씩 움직여 \(\rm C\) 까지 간다. 이때, 사각형 \(\rm DPBQ\) 의 넓이가 정사각형 \(\rm ABCD\) 의 넓이의 \(\dfrac{11}{20}\) 이 되는 순간의 삼각형 \(\rm PBQ\) 의 넓이의 시간(초)에 대한 순간변화율을 구하시오. 정답 \(18\)

한 변의 길이가 \(2\sqrt{3}\) 인 정육각형에 내접하는 원이 있다. 원의 반지름의 길이가 매초 \(2\) 의 속력으로 중가할 때, \(4\) 초 후의 원의 넓이의 증가율은? ① \(38\pi\) ② \(40\pi\) ③ \(42\pi\) ④ \(44\pi\) ⑤ \(46\pi\) 정답 ④

가로와 세로의 길이가 각각 \(9 \rm cm , \; 4 cm\) 인 직사각형이 있다. 이 직사각형의 가로와 세로의 길이가 각각 매초 \(\rm 0.2cm, \; 0.3cm\) 씩 늘어난다고 할 때, 이 직사각형이 정사각형이 되는 순간의 넓이의 변화융ㄹ은 몇 \(\rm cm^2/초\) 인가? ① \(9.5\) ② \(10\) ③ \(10.5\) ④ \(11\) ⑤ \(11.5\) 정답 ①

그림과 같이 점 \(\rm P\) 가 점 \({\rm A}(1,\;1)\) 을 출발하여 곡선 \(y=\ln x+1\) 을 따라 매초 \(2\) 의 일정한 속력으로 움직이고 있다. 점 \(\rm P\) 에서 \(x\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm Q\) 라 할 때, \(x=2\) 일 때, 점 \(\rm Q\) 의 속력은? ① \(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\) ② \(\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\) ③ \(\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\) ④ \(\sqrt{5}\) ⑤ \(\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\) 정답 ③

아래 그림과 같이 점 \(\rm P\) 가 점 \((0, \;1)\) 을 출발하여 곡선 \(y=e^x\;(x \geq 0)\) 위를 매초 \(1\) 의 속력으로 움직이고 있다. 점 \(\rm P\) 에서 \(x\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm Q\) 라고 할 때, 점 \(\rm P\) 가 점 \((1, \;e)\) 를 지나는 순간의 점 \(\rm Q\) 의 속력을 구하면? ① \(\dfrac{1}{2\sqrt{1+e^2}}\) ② \(\dfrac{1}{\sqrt{1+e^2}}\) ③ \(\dfrac{2}{\sqrt{1+e^2}}\) ④ \(\dfrac{1}{1+e^2}\) ⑤ \(\dfrac{2}{1+e^2}\) 정답 ②

그림과 같이 반지름의 길이가 \(40 \rm m\) 와 \(30 \rm m\) 인 두 동심원으로 이루어져 있는 롤러스케이ㅡ 트랙이 있다. 센돌이와 느림이는 각각 \(\rm A, \;B\) 지점에서 출발을 하는데, 센돌이는 \(3 \pi \rm m/초\) 의 일정한 속력으로 긴 트랙을 시계 반대 방향으로 돌고, 느림이는 \(2 \pi \rm m/초\) 의 일정한 속력으로 짧은 트랙을 센돌이와 같은 방향인 시계 반대 방향으로 돌고 있다. 이때 그림과 같이 센돌이와 느림이가 처음으로 트랙의 중심 \(\rm O\) 에 대하여 서로 직각의 위치에 있는 순간, 두 사람이 멀어지는 속도는? (단, 센돌이와 느림이는 동시네 같이 출발하며, 점 \(\rm B\) 는 선분 \(\rm OA\) 위에 있고, 단위는 \(\rm..

좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가 \(90^{\rm o}\) 이고 반지름의 길이가 \(10\) 인 부채꼴 \(\rm OAB\) 가 있다. 점 \(\rm P\) 가 점 \(\rm A\) 에서 출발하여 호 \(\rm AB\) 를 따라 매초 \(2\) 의 이정한 속력으로 움직일 때, \(\angle \rm AOP =30^{\rm o}\) 가 되는 순간 점 \(\rm P\) 의 \(y\) 좌표의 시간(초)에 대한 변화율은? ① \(-\dfrac{1}{2}\) ② \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ③ \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ④ \(-1\) ⑤ \(-2\) 정답 ④

그림과 같이 좌표평면에서 원 \(x^2+y^2=1\) 위의 점 \(\rm P\) 가 점 \((1, \;0)\) 에서 출발하여 원점을 중심으로 매초 \(\dfrac{1}{40}\)(라디안)의 일정한 속력으로 원 위를 시계 반대 방향으로 움직이고 있다. 점 \(\rm P\) 에서 \(x\) 축에 평행한 직선을 그을 떄, 원과 직선으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 \(S\) 라 하자. 점 \(\rm P\) 가 점 \(\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2},\; \dfrac{1}{2} \right )\) 을 지나는 순간, 넓이 \(S\) 의 시간(초)에 대한 변화율은 \(\dfrac{b}{a}\) 이다. \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(a\) 와 \(b\) 는 서로소인 자연수이다.) 정..