수악중독

그림과 같이 한 모서리의 길이가 $2$ 인 정육면체 $\rm ABCD-EFGH$ 와 평면 $\rm EFGH$ 위에 있으면서 중심이 점 $\rm H$ 이고 반지름의 길이가 $2$ 인 원을 아랫면, 평면 $\rm ABCD$ 위에 있으면서 중심이 점 $\rm D$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원을 윗면으로 하는 원뿔대가 있다. 이때, 선분 $\rm BF$ 의 중점 $\rm M$ 과 점 $\rm H$ 를 연결한 직선과 평행한 광선을 비추고 있다고 하자. 이 평행광선에 의해 원뿔대와 정육면체가 공유하는 입체의 그림자가 평면 $\rm EFGH$ 와 평행한 평면 $\alpha$ 위에 나타날 때, 이 그림자의 넓이를 $a\pi +b$ 라 하자. $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 정수) 정답..

삼각형 \(\rm ABC\) 에 대하여 점 \(\rm P\) 는 \[ 3 \overrightarrow{\rm PA} + 2 \overrightarrow{\rm PB} + \overrightarrow{\rm PC} = k \overrightarrow{\rm BC}\] 를 만족한다. 점 \(\rm P\) 가 삼각형 \(\rm ABC\) 의 내부에 있도록 하는 모든 정수 \(k\) 의 값의 합은? ① \(-2\) ② \(-1\) ③ \(0\) ④ \(1\) ⑤ \(2\) 정답 ②

평면 위에 사각형 \(\rm ABCD\) 내부의 한 점 \(\rm P\) 가 \[2 \left ( \overrightarrow {\rm BP} + \overrightarrow{\rm CP} \right ) = \overrightarrow{\rm AD} + \overrightarrow{\rm CD} , \;\; 2 \overrightarrow {\rm BP} = \overrightarrow{\rm PA} - 3 \overrightarrow{\rm CP} \] 를 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 사각형 \(\rm APCD\) 는 평행사변형이다. ㄴ. 직선 \(\rm AP\) 와 선분 \(\rm BC\) 의 교점 \(\rm Q\) 에 대하여 \(\overline{\rm PA} ..

좌표공간에서 중심이 점 \(\rm A\)인 구 \((x-2)^2 +(y-1)^2 +(z+1)^2 =\) \(\dfrac{9}{4}\)와 중심이 점 \(\rm B\)인 구 \((x-3)^2 +(y-3)^2 +(z-1)^2 =\) \(\dfrac{27}{4}\)가 만나서 생기는 원을 \(S\)라 하자. 원 \(S\) 위의 두 점 \(\rm P,~Q\)에 대하여 \(\overrightarrow {{\rm{AP}}} \cdot \overrightarrow{{\rm {BQ}}} \)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라고 할 때, \(M-m=\) \(\dfrac{b}{a}\)이다. \(a+b\)의 값을 구하시오. (단, \(a,~b\)는 서로소인 자연수이다.) 정답 35

평면 위의 임의의 벡터 \(\overrightarrow a = \left( {{a_1},\;{a_2}} \right)\)를 그림과 같이 직선 \(y=\dfrac{1}{3}\)\( x\) 위로 정사영시킨 벡터를 \(\overrightarrow b = \left( {{b_1},\;{b_2}} \right)\)라 한다. 이차정사각행렬 \(A\)에 대하여 \(A\left( {\matrix{{{a_1}} \cr {{a_2}} } } \right) = \left( {\matrix{{{b_1}} \cr {{b_2}} } } \right)\)가 성립할 때, 행렬 \(A\)의 모든 성분의 합은? ① \(\dfrac{6}{5}\) ② \(\dfrac{7}{5}\) ③ \(\dfrac{8}{5}\) ④ \(\dfrac{9}..

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 \(5\)인 정삼각형 \(\rm OAB\)에서 변 \(\rm OB\) 위에 \(\overline{\rm OD} = 4\)인 점 \(\rm D\)를 잡는다. 꼭짓점 \(\rm O\)에서 선분 \(\rm AD\) 위에 내린 수선의 발을 \(\rm H\)라 할 때, \({\overrightarrow{\rm OH}}=l{\overrightarrow{\rm OA}}+m{\overrightarrow{\rm OB}}\)가 성립한다. 두 상수 \( l, \; m\)에 대하여 \(l^2 +m^2 \)의 값은? ① \(\Large \frac{12}{49}\) ② \(\Large \frac{2}{7}\) ③ \(\Large \frac{16}{49}\) ④ \(\Large \frac{18}..

\(\overline{\rm AD} \parallel \overline {\rm BC}\) 인 등변사다리꼴 \(\rm ABCD\) 에서 \(\overrightarrow{\rm AB}=(3,\;1) ,\;\; \overrightarrow{\rm AD} = (-2,\;2)\) 일 때, \(\overrightarrow{\rm BC}\) 는? ① \((-1,\;1)\) ② \((1,\;-1)\) ③ \((-3,\;3)\) ④ \((3,\;-3)\) ⑤ \((-4,\;4)\) 정답 ⑤

\(\triangle {\rm ABC}\) 에서 \(\overline{\rm AC}\) 를 \(2:1\) 로 내분하는 점을 \(\rm D,\;\; \overline{BD}\) 를 \(2:1\) 로 내분하는 점을 \(\rm P\), 직선 \(\rm AP\) 가 변 \(\rm BC\) 와 만나는 점을 \(\rm Q\) 라 할 때, \(\overline{\rm BQ}:\overline{\rm CQ}\) 의 비는? ① \(2:1\) ② \(3:2\) ③ \(4:3\) ④ \(5:4\) ⑤ \(6:5\) 정답 ③

\(\triangle \rm ABC\) 에서 \( 3 \overrightarrow {\rm PA} + 2 \overrightarrow {\rm PB} + \overrightarrow {\rm PC} = k \overrightarrow {\rm BC} \) 를 만족하는 점 \(\rm P\) 가 \(\triangle \rm ABC\) 의 변 및 내부에 존재하도록 하는 실수 \(k\) 의 값의 범위는? ① \(-1 \le k \le 1\) ② \(-2 \le k \le 1\) ③ \(0\le k \le 1\)④ \(0 \le k \le 2\) ⑤ \(1 \le k \le 3\) 정답 ②

타원 \(\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} =1\) 의 두 초점을 \(\rm F,\; F'\), 타원 위의 한 점을 \(\rm Q\) 라 하자. 내적 \(\overrightarrow{\rm FQ} \cdot \overrightarrow {\rm F'Q}\) 의 값의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M,\; m\) 이라고 할 때, \(M-m\) 의 값은? ① \(12\) ② \(16\) ③ \(20\) ④ \(24\) ⑤ \(28\) 정답 ②