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목록미적분 - 문제풀이 (226)
수악중독
양의 상수 $a$ 와 최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(2a, \; f(2a))$ 에서의 접선은 점 $(2a-1, \; 0)$ 을 지난다. (나) 함수 $e^{-x}f(x)$ 는 $x=a, \; x=4a$ 에서만 극값을 갖는다. 곡선 $y=e^{-x}f(x)$ 의 $x=0$ 에서의 접선의 기울기가 $-64$ 일 때, $f \left (5\sqrt{2} \right ) - f' \left (5\sqrt{2} \right )$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $144$
수열 $\{a_n\}$ 의 일반항이 $$a_n = \left (\dfrac{x^2-4x}{5} \right )^n$$ 일 때, 수열 $\{a_n\}$ 이 수렴하도록 하는 모든 정수 $x$ 의 개수는? ① $7$ ② $8$ ③ $9$ ④ $10$ ⑤ $11$ 더보기 정답 ①
모든 항이 양수인 수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1}=a_1 a_n$$ 을 만족시킨다. $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{3a_{n+3}-5}{2a_n+1}=12$ 일 때, $a_1$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $2$ ⑤ $\dfrac{5}{2}$ 더보기 정답 ④
수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$2n^2-3
수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n \dfrac{a_k}{(k-1)!} = \dfrac{3}{(n+2)!}$$ 을 만족시킨다. $\lim \limits_{n \to \infty} \left (a_1 + n^2 a_n \right )$ 의 값은? ① $-\dfrac{7}{2}$ ② $-3$ ③ $-\dfrac{5}{2}$ ④ $-2$ ⑤ $-\dfrac{3}{2}$ 더보기 정답 ③
함수 $f(x)=\log_3 6x$ 에 대하여 $f'(9)$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{9\ln 3}$ ② $\dfrac{1}{6\ln 3}$ ③ $\dfrac{2}{9\ln 3}$ ④ $\dfrac{5}{18\ln 3}$ ⑤ $\dfrac{1}{3\ln 3}$ 더보기 정답 ①
수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $\sum \limits_{n=1}^\infty \left ( \dfrac{a_n}{n}-2 \right )=5$ 일 때, $\lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{2n^2+3na_n}{n^2+4}$ 의 값은? ① $2$ ② $4$ ③ $6$ ④ $8$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ④
좌표평면에서 양의 실수 $t$ 에 대하여 직선 $x=t$ 가 두 곡선 $y=e^{2x+k}, \; y=e^{-3x+k}$ 과 만나는 점을 각각 $\mathrm{P, \; Q}$ 라 할 때, $\overline{\mathrm{PQ}}=t$ 를 만족시키는 실수 $k$ 의 값을 $f(t)$ 라 하자. 함수 $f(t)$ 에 대하여 $\lim \limits_{t \to 0+} e^{f(t)}$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{6}$ ② $\dfrac{1}{5}$ ③ $\dfrac{1}{4}$ ④ $\dfrac{1}{3}$ ⑤ $\dfrac{1}{2}$ 더보기 정답 ②
매개변수 $t$ 로 나타내어진 곡선 $$x=e^t+\cos t, \quad y=\sin t$$ 에서 $t=0$ 일 때, $\dfrac{dy}{dx}$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $2$ ⑤ $\dfrac{5}{2}$ 더보기 정답 ②