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목록미적분 - 문제풀이 (226)
수악중독
함수 $f(x)=\dfrac{1}{3}x^3 -2x^2-5x+1$ 이 닫힌구간 $[a, \; b]$ 에서 감소할 때, $b-a$ 의 최댓값은? (단, $a, \; b$ 는 $a
두 정수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 는 $$f(x)=\begin{cases} x^2 -2ax+\dfrac{a^2}{4}+b^2 & (x \le 0) \\ x^3-3x^2+5 & (x>0) \end{cases}$$ 이다. 실수 $t$ 에 대하여 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 직선 $y=t$ 가 만나는 점의 개수를 $g(t)$ 라 하자. 함수 $g(t)$ 가 $t=k$ 에서 불연속인 실수 $k$ 의 개수가 $2$ 가 되도록 하는 두 정수 $a, \; b$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b )$ 의 개수는? ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ③
두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 이 $$\lim \limits_{n \to \infty}na_n=1, \quad \lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{b_n}{n}=3$$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{n^2a_n+b_n}{1+2b_n}$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{3}$ ② $\dfrac{1}{2}$ ③ $\dfrac{2}{3}$ ④ $\dfrac{5}{6}$ ⑤ $1$ 더보기 정답 ③
수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$2n+3 < a_n < 2n+4$$ 를 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{(a_n +1)^2 +6n^2}{na_n}$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ⑤
수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1}-a_n = a_1 +2$$ 를 만족시킨다. $\lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{2a_n+n}{a_n -n +1}=3$ 일 때, $a_{10}$ 의 값은? (단, $a_1 >0$) ① $35$ ② $36$ ③ $37$ ④ $38$ ⑤ $39$ 더보기 정답 ④
$a_1=3, \; a_2=6$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 과 모든 항이 양수인 수열 $\{b_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n a_k (b_k)^2=n^3-n+3$$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_nb_{2n}}$ 의 값은? ① $\dfrac{3}{2}$ ② $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ ③ $3$ ④ $3\sqrt{2}$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ②
자연수 $n$ 에 대하여 직선 $y=2nx$ 가 곡선 $y=x^2+n^2-1$ 과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{A}_n, \; \mathrm{B}_n$ 이라 하자. 원 $(x-2)^2+y^2=1$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 삼각형 $\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{P}$ 의 넓이가 최대가 되도록 하는 점 $\mathrm{P}$ 를 $\mathrm{P}_n$ 이라 할 때, 삼각형 $\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{P}_n$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 하자. $\lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{S_n}{n}$ 의 값은? ① $2$ ② $4$ ③ $6$ ④ $8$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ③
자연수 $n$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=\dfrac{4}{n^3} x^3 +1$$ 이라 하자. 원점에서 곡선 $y=f(x)$ 에 그은 접선을 $l_n$, 접선 $l_n$ 의 접점을 $\mathrm{P}_n$ 이라 하자. $x$ 축과 직선 $l_n$ 에 동시에 접하고 점 $\mathrm{P}_n$ 을 지나는 원 중 중심의 $x$ 좌표가 양수인 것을 $C_n$ 이라 하자.원 $C_n$ 의 반지름의 길이를 $r_n$ 이라 할 때, $40 \times \lim \limits_{n \to \infty} n^2 (4r_n-3)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $270$
매개변수 $t \; (t>0)$ 으로 나타내어진 곡선 $$x= \ln \left (t^3 +1 \right ), \quad y=\sin \pi t$$ 에서 $t=1$ 일 때, $\dfrac{dy}{dx}$ 의 값은? ① $-\dfrac{1}{3}\pi$ ② $-\dfrac{2}{3}\pi$ ③ $-\pi$ ④ $-\dfrac{4}{3}\pi$ ⑤ $-\dfrac{5}{3}\pi$ 더보기 정답 ②
양의 실수 전체의 집합에서 정의되고 미분가능한 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 가 있다. $g(x)$ 는 $f(x)$ 의 역함수이고, $g'(x)$ 는 양의 실수 전체의 집합에서 연속이다. 모든 양수 $a$ 에 대하여 $$\displaystyle \int_1^a \dfrac{1}{g'(f(x))f(x)}dx=2 \ln a + \ln (a+1) - \ln 2$$ 이고 $f(1)=8$ 일 때, $f(2)$ 의 값은? ① $36$ ② $40$ ③ $44$ ④ $48$ ⑤ $52$ 더보기 정답 ④