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목록미적분 - 문제풀이 (226)
수악중독
그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}_1$, 반지름의 길이가 $1$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{5\pi}{12}$ 인 부채꼴 $\mathrm{O_1A_1O_2}$ 가 있다. 호 $\mathrm{A_1O_2}$ 위에 점 $\mathrm{B_1}$ 을 $\angle \mathrm{A_1O_1B_1}=\dfrac{\pi}{4}$ 가 되도록 잡고, 부채꼴 $\mathrm{O_1A_1B_1}$ 에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1$ 에서 점 $\mathrm{O_2}$ 를 지나고 선분 $\mathrm{O_1A_1}$ 에 평행한 직선이 직선 $\mathrm{O_1B_1}$ 과 만나는 점을 $\mathrm{A_2}$ 라 하자. 중심이 $\mathrm{O_2}$ 이고 중심각의 크기가..
두 함수 $$f(x)=e^x, \quad g(x)=k\sin x$$ 에 대하여 방정식 $f(x)=g(x)$ 의 서로 다른 양의 실근의 개수가 $3$ 일 때, 양수 $k$ 의 값은? ① $\sqrt{2}e^{\frac{3\pi}{2}}$ ② $\sqrt{2}e^{\frac{7\pi}{4}}$ ③ $\sqrt{2}e^{2\pi}$ ④ $\sqrt{2}e^{\frac{9\pi}{4}}$ ⑤ $\sqrt{2}e^{\frac{5\pi}{2}}$ 더보기 정답 ④
$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} 2 \cos 2x \sin ^2 2x dx$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{9}$ ② $\dfrac{1}{6}$ ③ $\dfrac{2}{9}$ ④ $\dfrac{5}{18}$ ⑤ $\dfrac{1}{3}$ 더보기 정답 ⑤
자연수 $r$ 에 대하여 $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{3^n+r^{n+1}}{3^n + 7 \times r^n}=1$ 이 성립하도록 하는 모든 $r$ 의 값의 합은? ① $7$ ② $8$ ③ $9$ ④ $10$ ⑤ $11$ 더보기 정답 ④
그림과 같이 한 변의 길이가 $4$ 인 정사각형 $\mathrm{OA_1B_1C_1}$ 의 대각선 $\mathrm{OB_1}$ 을 $3:1$ 로 내분하는 점을 $\mathrm{D_1}$ 이라 하고, 네 선분 $\mathrm{A_1B_1, \; B_1C_1, \; C_1D_1, \; D_1A_1}$ 으로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1$ 에서 중심이 $\mathrm{O}$ 이고 두 직선 $\mathrm{A_1D_1, \; C_1D_1}$ 에 동시에 접하는 원과 선분 $\mathrm{OB_1}$ 이 만나는 점을 $\mathrm{B_2}$ 라 하자. 선분 $\mathrm{OB_2}$ 를 대각선으로 하는 정사각형 $\mathrm{OA_2B_2C_2}$ 를 그리고..
곡선 $y=xe^{-2x}$ 의 변곡점을 $\mathrm{A}$ 라 하자. 곡선 $y=xe^{-2x}$ 위의 점 $\mathrm{A}$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$ 라 할 때, 삼각형 $\mathrm{OAB}$ 의 넓이는? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $e^{-2}$ ② $3e^{-2}$ ③ $1$ ④ $e^2$ ⑤ $3e^2$ 더보기 정답 ①
$2\cos \alpha = 3 \sin \alpha$ 이고 $\tan (\alpha+\beta)=1$ 일 때, $\tan \beta$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{6}$ ② $\dfrac{1}{5}$ ③ $\dfrac{1}{4}$ ④ $\dfrac{1}{3}$ ⑤ $\dfrac{1}{2}$ 더보기 정답 ②
매개변수 $t$ 로 나타내어진 곡선 $$x=e^t-4e^{-t}, \quad y=t+1$$ 에서 $t=\ln 2$ 일 때, $\dfrac{dy}{dx}$ 의 값은? ① $1$ ② $\dfrac{1}{2}$ ③ $\dfrac{1}{3}$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{5}$ 더보기 정답 ④
그림과 같이 곡선 $y=\sqrt{\dfrac{3x+1}{x^2}} \; (x>0)$ 과 $x$ 축 및 두 직선 $x=1, \; x=2$ 로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하고 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형이니 입체도형의 부피는? ① $3\ln 2$ ② $\dfrac{1}{2}+3\ln 2$ ③ $1+3\ln 2$ ④ $\dfac{1}{2}+4 \ln 2$ ⑤ $1+4 \ln 2$ 더보기 정답 ②
그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB_1}}=1$, $\overline{\mathrm{B_1C_1}}=2$ 인 직사각형 $\mathrm{AB_1C_1D_1}$ 이 있다. $\angle \mathrm{AD_1C_1}$ 을 삼등분하는 두 직선이 선분 $\mathrm{B_1C_1}$ 과 만나는 점 중 점 $\mathrm{B_1}$ 에 가까운 점을 $\mathrm{E_1}$, 점 $\mathrm{C_1}$ 에 가까운 점을 $\mathrm{F_1}$ 이라 하자. $\overline{\mathrm{E_1F_1}}=\overline{\mathrm{F_1G_1}}$, $\angle \mathrm{E_1F_1G_1}=\dfrac{\pi}{2}$ 이고 선분 $\mathrm{AD_1}$ 과 선분 $\mathr..