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목록미적분 - 문제풀이 (226)
수악중독
수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $\sum \limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_n-4n}{n}=1$ 일 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{5n+a_n}{3n-1}$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ③
좌표평면 위를 움직이는 점 $\rm P$ 의 시각 $t \; (t>2)$ 에서의 위치 $(x, \; y)$ 까 $$x= t \ln t, \quad y=\dfrac{4t}{\ln t}$$ 이다. 시각 $t=e^2$ 에서 점 $\rm P$ 의 속력은? ① $\sqrt{7}$ ② $2\sqrt{2}$ ③ $3$ ④ $\sqrt{10}$ ⑤ $\sqrt{11}$ 더보기 정답 ④
그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm A_1B$ 를 지름으로 하는 반원 $O_1$ 이 있다. 호 $\rm BA_1$ 위에 점 $\rm C_1$ 을 $\angle \rm BA_1C_1=\dfrac{\pi}{6}$ 가 되도록 잡고, 선분 $\rm A_2B$ 를 지름으로 하는 반원 $O_2$ 가 선분 $\rm A_1C_1$ 과 접하도록 선분 $\rm A_1B$ 위에 점 $\rm A_2$ 를 잡는다. 반원 $O_2$ 와 선분 $\rm A_1C_1$ 의 접점을 $\rm D_1$ 이라 할 때, 두 선분 $\rm A_1A_2, \; A_1D_1$ 과 호 $\rm D_1A_2$ 로 둘러싸인 부분과 선분 $\rm C_1D_1$ 과 두 호 $\rm BC_1, \; BD_1$ 로 둘러싸인 부분인 모양의 도형에 색칠하..
미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $x_1 f(x_2)$ 이다. (나) 닫힌구간 $[-1, \; 3]$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최댓값은 $1$ 이고 최솟값은 $-2$ 이다. $\displaystyle \int_{-1}^3 f(x) dx=3$ 일 때, $\displaystyle \int_{-2}^1 f^{-1}(x)dx$ 의 값은? ① $4$ ② $5$ ③ $6$ ④ $7$ ⑤ $8$ 더보기 정답 ⑤
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$f\left (x^3 +x \right )=e^x$$ 을 만족시킬 때, $f'(2)$ 의 값은? ① $e$ ② $\dfrac{e}{2}$ ③ $\dfrac{e}{3}$ ④ $\dfrac{e}{4}$ ⑤ $\dfrac{e}{5}$ 더보기 정답 ④
등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $$\sum \limits_{n=1}^\infty (a_{2n-1}-a_{2n})=3, \quad \sum \limits_{n=1}^\infty a_n^2 = 6$$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^\infty a_n$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ②
$\lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{k^2+2kn}{k^3+3k^2n+n^3}$ 의 값은? ① $\ln 5$ ② $\dfrac{\ln 5}{2}$ ③ $\dfrac{\ln 5}{3}$ ④ $\dfrac{\ln 5}{4}$ ⑤ $\dfrac{\ln 5}{5}$ 더보기 정답 ③
좌표평면 위를 움직이는 점 $\rm P$ 의 시각 $t \; (t>0)$ 에서의 위치가 곡선 $y=x^2$ 과 직선 $y=t^2x-\dfrac{\ln t}{8}$ 가 만나는 서로 다른 두 점의 중점일 때, 시각 $t=1$ 에서 $t=e$ 까지 점 $\rm P$ 가 움직인 거리는? ① $\dfrac{e^4}{2}-\dfrac{3}{8}$ ② $\dfrac{e^4}{2}-\dfrac{5}{16}$ ③ $\dfrac{e^4}{2}-\dfrac{1}{4}$ ④ $\dfrac{e^4}{2}-\dfrac{3}{16}$ ⑤ $\dfrac{e^4}{2}-\dfrac{1}{8}$ 더보기 정답 ①
수열 $\{a_n\}$ 이 $\lim \limits_{n \to \infty} (3a_n - 5n)=2$ 를 만족시킬 때, $\lim \limits_{n\to \infty} \dfrac{(2n+1)a_n}{4n^2}$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{6}$ ② $\dfrac{1}{3}$ ③ $\dfrac{1}{2}$ ④ $\dfrac{2}{3}$ ⑤ $\dfrac{5}{6}$ 더보기 정답 ⑤
첫째항이 $1$ 인 두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1}-a_n =3, \quad \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{1}{b_k} = n^2$$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} a_nb_n$ 의 값은? ① $\dfrac{7}{6}$ ② $\dfrac{4}{3}$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $\dfrac{5}{3}$ ⑤ $\dfrac{11}{6}$ 더보기 정답 ③