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목록미적분 - 문제풀이 (226)
수악중독
두 함수 $f(x)=a^x, \; g(x)=2 \log_b x$ 에 대하여 $$\lim \limits_{x \to e} \dfrac{f(x)-g(x)}{x-e}=0$$ 일 때, $a \times b$ 의 값은? (단, $a$ 와 $b$ 는 $1$ 보다 큰 상수이다.) ① $e^{\frac{1}{e}}$ ② $e^{\frac{2}{e}}$ ③ $e^{\frac{3}{e}}$ ④ $e^{\frac{4}{e}}$ ⑤ $e^{\frac{5}{e}}$ 더보기 정답 ③
그림과 같이 좌표평면 위에 점 $\mathrm{A}(0, \; 1)$ 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 $C$ 가 있다. 원점 $\mathrm{O}$ 를 지나고 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\theta$ 인 직선이 원 $C$ 와 만나는 점 중 $\mathrm{O}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{P}$ 라 하고, 호 $\mathrm{OP}$ 위에 점 $\mathrm{Q}$ 를 $\angle \mathrm{OPQ}=\dfrac{\theta}{3}$ 가 되도록 잡는다. 삼각형 $\mathrm{POQ}$ 의 넓이를 $f(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{f(\theta)}{\theta^3}$ 의 값은? (단, 점 $\..
그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}_1}=2, \; \overline{\mathrm{B_1C_1}}=\sqrt{3}, \; \overline{\mathrm{C_1D_1}}=1$ 이고 $\angle \mathrm{C_1B_1A}=\dfrac{\pi}{2}$ 인 사다리꼴 $\mathrm{AB_1C_1D_1}$ 이 있다. 세 점 $\mathrm{A, \; B_1, \; D_1}$ 을 지나는 원이 선분 $\mathrm{B_1C_1}$ 과 만나는 점 중 $\mathrm{B_1}$ 이 아닌 점을 $\mathrm{E_1}$ 이라 할 때, 두 선분 $\mathrm{C_1D_1, \; C_1E_1}$ 과 호 $\mathrm{E_1D_1}$ 로 둘러싸인 부분과 선분 $\mathrm{B_1E_1}$ 과 호..
그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}$, 반지름의 길이가 $8$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$ 가 있다. 호 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{C}$ 에 대하여 점 $\mathrm{B}$ 에서 선분 $\mathrm{OC}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{D}$ 라 하고, 두 선분 $\mathrm{BD}, \; \mathrm{CD}$ 와 호 $\mathrm{BC}$ 에 동시에 접하는 원을 $C$ 라 하자. 점 $\mathrm{O}$ 에서 원 $C$ 에 그은 접선 중 점 $\mathrm{C}$ 를 지나지 않는 직선이 호 $\mathrm{AB}$ 와 만나는 점을 $\mathrm{E}$ 라 할 때, $\cos \left ( \..
$x \ge 0$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(x) = \begin{cases} 2^x -1 & (0 \le x \le 1) \\ 4 \times \left (\dfrac{1}{2} \right )^x -1 & (1 \lt x \le 2) \end{cases}$ (나) 모든 양의 실수 $x$ 에 대하여 $f(x+2)=-\dfrac{1}{2}f(x)$ 이다. $x \gt 0$ 에서 정의된 함수 $g(x)$ 를 $$ g(x)=\lim \limits_{h \to 0+} \dfrac{f(x+h)-f(x-h)}{h}$$ 라 할 때, $$\lim \limits_{t \to 0+} \{ g(n+t) - g(n-t)\} + 2g(n)=\dfrac{\ln 2}{2^{24}}$$..
수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$3^n - 2^n < a_n < 3^n +2^n$$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{3^{n+1} + 2^n}$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{6}$ ② $\dfrac{1}{3}$ ③ $\dfrac{1}{2}$ ④ $\dfrac{2}{3}$ ⑤ $\dfrac{5}{6}$ 더보기 정답 ②
등차수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{2n}-6n}{a_n+5}=4$$ 일 때, $a_2-a_1$ 의 값은? ① $-1$ ② $-2$ ③ $-3$ ④ $-4$ ⑤ $-5$ 더보기 정답 ③
두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 에 대하여 $$\lim \limits_{n \to \infty} \left (n^2 +1 \right ) a_n = 3, \quad \lim \limits_{n \to \infty} \left (4n^2+1 \right ) (a_n + b_n)=1$$ 일 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \left (2n^2+1 \right ) (a_n + 2b_n)$ 의 값은? ① $-3$ ② $-\dfrac{7}{2}$ ③ $-4$ ④ $-\dfrac{9}{2}$ ⑤ $-5$ 더보기 정답 ⑤
$a_1=3, \; a_2=-4$ 인 수열 $\{a_n\}$ 과 등차수열 $\{b_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n \dfrac{a_k}{b_k}=\dfrac{6}{n+1}$$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} a_n b_n$ 의 값은? ① $-54$ ② $-\dfrac{75}{2}$ ③ $-24$ ④ $-\dfrac{27}{2}$ ⑤ $-6$ 더보기 정답 ①
$a>0, \; a\ne 1$ 인 실수 $a$ 와 자연수 $n$ 에 대하여 직선 $y=n$ 이 $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{A}_n$, 직선 $y=n$ 이 곡선 $y= \log_a (x-1)$ 과 만나는 점을 $\mathrm{B}_n$ 이라 하자. 사각형 $\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1} \mathrm{A}_{n+1}$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\overline{\mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}}}{S_n} = \dfrac{3}{2a+2}$$ 을 만족시키는 모든 $a$ 의 값의 합은? ① $2$ ② $\dfrac{9}{4}$ ③ $\dfrac{5}{2}..