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목록미적분 - 문제풀이 (226)
수악중독
모든 항이 자연수인 등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $$\sum \limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}{3^n}=4$$ 이고 급수 $\sum \limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{a_{2n}}$ 이 실수 $S$ 에 수렴할 때, $S$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{6}$ ② $\dfrac{1}{5}$ ③ $\dfrac{1}{4}$ ④ $\dfrac{1}{3}$ ⑤ $\dfrac{1}{2}$ 더보기 정답 ①
함수 $$f(x)=\sin x \cos x \times e^{a\sin x+b\cos x}$$ 이 다음 조건을 만족시키도록 하는 서로 다른 두 실수 $a, \; b$ 의 순서쌍 $(a, \; b)$ 에 대하여 $a-b$ 의 최솟값은? (가) $ab=0$ (나) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx = \dfrac{1}{a^2+b^2}-2e^{a+b}$ ① $-\dfrac{5}{2}$ ② $-2$ ③ $-\dfrac{3}{2}$ ④ $-1$ ⑤ $-\dfrac{1}{2}$ 더보기 정답 ④
그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}$, $\overline{\mathrm{BC}}=2$ 인 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 원이 선분 $\mathrm{AC}$ 와 만나는 점 중 $\mathrm{A}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{D}$ 라 하고, 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점을 $\mathrm{E}$ 라 하자. $\angle \mathrm{BAC}=\theta$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{CDE}$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라 하자. $60 \times \lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{S(\theta)}{\theta}$ 의 값을 ..
두 정수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $$f(x)=\left (x^2+ax+b \right ) e^{-x}$$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $f(x)$ 는 극값을 갖는다. (나) 함수 $|f(x)|$ 가 $x=k$ 에서 극대 또는 극소인 모든 $k$ 의 값의 합은 $3$ 이다. $f(10)=pe^{-10}$ 일 때, $p$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $91$
매개변수 $t$ 로 나타내어진 곡선 $$x=t+\cos 2t , \quad y = \sin^2 t$$ 에서 $t=\dfrac{\pi}{4}$ 일 때, $\dfrac{dy}{dx}$ 의 값은? ① $-2$ ② $-1$ ③ $0$ ④ $1$ ⑤ $2$ 더보기 정답 ②
함수 $f(x)=x+ \ln x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_1^e \left (1+\dfrac{1}{x} \right ) f(x) dx $ 의 값은? ① $\dfrac{e^2}{2}+\dfrac{e}{2}$ ② $\dfrac{e^2}{2}+e$ ③ $\dfrac{e^2}{2}+2e$ ④ $e^2+e$ ⑤ $e^2+2e$ 더보기 정답 ②
공차가 양수인 등차수열 $\{a_n\}$ 과 등비수열 $\{b_n\}$ 에 대하여 $a_1 = b_1=1, \; a_2b_2=1$ 이고 $$\sum \limits_{n=1}^\infty \left ( \dfrac{1}{a_n a_{n+1}} + b_n \right )=2$$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^\infty b_n$ 의 값은? ① $\dfrac{7}{6}$ ② $\dfrac{6}{5}$ ③ $\dfrac{5}{4}$ ④ $\dfrac{4}{3}$ ⑤ $\dfrac{3}{2}$ 더보기 정답 ⑤
$x=-\ln 4$ 에서 $x=1$ 까지의 곡선 $y=\dfrac{1}{2} \left ( \left | e^x -1 \right | - e^{|x|}+1 \right )$ 의 길이는? ① $\dfrac{23}{8}$ ② $\dfrac{13}{4}$ ③ $\dfrac{29}{8}$ ④ $4$ ⑤ $\dfrac{35}{8}$ 더보기 정답 ①
실수 $a\; (0
두 실수 $a, \; b \; (a>1, \; b>1)$ 이 $$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{3^n+a^{n+1}}{3^{n+1}+a^n} = a, \quad \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a^n +b^{n+1}}{a^{n+1}+b^n}=\dfrac{9}{a}$$ 를 만족시킬 때, $a+b$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $18$