수악중독

길이가 $10$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 원과 선분 $\mathrm{AB}$ 위에 $\overline{\mathrm{AC}}=4$ 인 점 $\mathrm{C}$ 가 있다. 이 원 위의 점 $\mathrm{P}$ 를 $\angle \mathrm{PCB}=\theta$ 가 되도록 잡고, 점 $\mathrm{P}$ 를 지나고 선분 $\mathrm{AB}$ 에 수직인 직선이 이 원과 만나는 점 중 $\mathrm{P}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{PCQ}$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라 할 때, $-7 \times S'\left (\dfrac{\pi}{4} \right )$ 의 값을 구하시오. (단, $ 0< \theta < \dfra..

함수 $f(x)=\ln \left (x^2-x+2 \right )$ 와 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $g(x)$ 가 있다. 실수 전체의 집합에서 정의된 합성함수 $h(x)$ 를 $h(x)=f(g(x))$ 라 하자. $\lim \limits_{x \to 2} \dfrac{g(x)-4}{x-2}=12$ 일 때, $h'(2)$ 의 값은? ① $4$ ② $6$ ③ $8$ ④ $10$ ⑤ $12$ 더보기 정답 ②

곡선 $2e^{x+y-1}=3e^x+x-y$ 위의 점 $(0, \; 1)$ 에서의 접선의 기울기는? ① $\dfrac{2}{3}$ ② $1$ ③ $\dfrac{4}{3}$ ④ $\dfrac{5}{3}$ ⑤ $2$ 더보기 정답 ①

함수 $f(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속이고 $$\displaystyle \int_1^2 (x-1)f' \left (\dfrac{x}{2} \right ) dx =2$$ 를 만족시킨다. $f(1)=4$ 일 때, $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^1 f(x)dx$ 의 값은? ① $\dfrac{3}{4}$ ② $1$ ③ $\dfrac{5}{4}$ ④ $\dfrac{3}{2}$ ⑤ $\dfrac{7}{4}$ 더보기 정답 ④

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB_1}}=\overline{\mathrm{AC_1}}=\sqrt{17}, \; \overline{\mathrm{B_1C_1}}=2$ 인 삼각형 $\mathrm{AB_1C_1}$ 이 있다. 선분 $\mathrm{AB_1}$ 위의 점 $\mathrm{B_2}$, 선분 $\mathrm{AC_1}$ 위의 점 $\mathrm{C_2}$, 삼각형 $\mathrm{AB_1C_1}$ 의 내부의 점 $\mathrm{D_1}$ 을 $\overline{\mathrm{B_1D_1}} = \overline{\mathrm{B_2D_1}} = \overline{\mathrm{C_1D_1}}=\overline{\mathrm{C_2D_1}}$, $\angle \mathrm{B_1D_1..

그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}$ 이고 길이가 $2$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 원이 있다. 원 위에 점 $\mathrm{P}$ 를 $\angle \mathrm{PAB}=\theta$ 가 되도록 잡고, 점 $\mathrm{P}$ 를 포함하지 않는 호 $\mathrm{AB}$ 위에 점 $\mathrm{Q}$ 를 $\angle \mathrm{QAB}=2\theta$ 가 되도록 잡는다. 직선 $\mathrm{OQ}$ 가 원과 만나는 점 중 $\mathrm{Q}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{R}$, 두 선분 $\mathrm{PA}$ 와 $\mathrm{QR}$ 가 만나는 점을 $\mathrm{S}$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{BOQ}$ 의 넓이를 $f(\theta)$..

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\sin |\pi f(x)|$$ 라 하자. 함수 $y=g(x)$ 의 그래프와 $x$ 축이 만나는 점의 $x$ 좌표 중 양수인 것을 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, $n$ 번째 수를 $a_n$ 이라 하자. 함수 $g(x)$ 와 자연수 $m$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=a_4$ 와 $x=a_8$ 에서 극대이다. (나) $f(a_m)=f(0)$ $f(a_k) \le f(m)$ 을 만족시키는 자연수 $k$ 의 최댓값을 구하시오. 더보기 정답 $208$

실수 $a \; (a \ge 0)$ 에 대하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 의 시각 $t \; (t \ge 0)$ 에서의 속도 $v(t)$ 를 $$v(t)=-t(t-1)(t-a)(t-2a)$$ 라 하자. 점 $\mathrm{P}$ 가 시각 $t=0$ 일 때 출발한 후 운동 방향을 한 번만 바꾸도록 하는 $a$ 에 대하여, 시각 $t=0$ 에서 $t=2$ 까지 점 $\mathrm{P}$ 의 위치의 변화량의 최댓값은? ① $\dfrac{1}{5}$ ② $\dfrac{7}{30}$ ③ $\dfrac{4}{15}$ ④ $\dfrac{3}{10}$ ⑤ $\dfrac{1}{3}$ 더보기 정답 ③

함수 $f(x)$ 에 대하여 $f'(x)=8x^3-1$ 이고 $f(0)=3$ 일 때, $f(2)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $33$ $f(x)= \displaystyle \int f'(x) dx = \int 8x^3-1 dx = 2x^4-x+C$ $f(0)=3$ 이므로 $C=3$ $\therefore f(2)=2^5-2+3=33$

최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)=\displaystyle \int_0^x f(t) dt $$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(9)$ 의 값을 구하시오. $x \ge 1$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(x) \ge g(4)$ 이고 $|g(x)| \ge |g(3)|$ 이다. 더보기 정답 $39$