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목록미적분 - 문제풀이 (226)
수악중독
매개변수 $t$ 로 나타내어진 곡선 $$x=\dfrac{5t}{t^2+1}, \quad y=3 \ln \left (t^2 +1 \right )$$ 에서 $t=2$ 일 때, $\dfrac{dy}{dx}$ 이 값은? ① $-1$ ② $-2$ ③ $-3$ ④ $-4$ ⑤ $-5$ 더보기 정답 ④
$\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{2^{ax+b}-8}{2^{bx}-1}=16$ 일 때, $a+b$ 의 값은? (단, $a$ 와 $b$ 는 $0$ 이 아닌 상수이다.) ① $9$ ② $10$ ③ $11$ ④ $12$ ⑤ $13$ 더보기 정답 ①
$x$ 에 대한 방정식 $x^2-5x+2 \ln x = t$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $2$ 가 되도록 하는 모든 실수 $t$ 의 값의 합은? ① $-\dfrac{17}{2}$ ② $-\dfrac{33}{4}$ ③ $-8$ ④ $-\dfrac{31}{4}$ ⑤ $-\dfrac{15}{2}$ 더보기 정답 ②
두 상수 $a\; (a>0), \; b$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $a \times b$ 의 값은? (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$\{f(x)\}^2+2f(x)=a \cos^3 \pi x \times e^{\sin^2 \pi x}+b$$ 이다. (나) $f(0)=f(2)+1$ ① $-\dfrac{1}{16}$ ② $-\dfrac{7}{64}$ ③ $-\dfrac{5}{32}$ ④ $-\dfrac{13}{64}$ ⑤ $-\dfrac{1}{4}$ 더보기 정답 ②
세 실수 $a, \; b, \; k$ 에 대하여 두 점 $\mathrm{A}(a, \; a+k), \; \mathrm{B}(b, \; b+k)$ 가 곡선 $C:x^2-2xy+2y^2=15$ 위에 있다. 곡선 $C$ 위의 점 $\mathrm{A}$ 에서의 접선과 곡선 $C$ 위의 점 $\mathrm{B}$ 에서의 접선이 서로 수직일 때, $k^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a+2k \ne 0, \; b+2k \ne 0$) 더보기 정답 $5$
수열 $\{a_n\}$ 은 등비수열이고, 수열 $\{b_n\}$ 을 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$b_n = \begin{cases} -1 & (a_n \le -1) \\ a_n & (a_n \gt -1) \end{cases}$$ 이라 할 때, 수열 $\{b_n\}$ 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) 급수 $\sum \limits_{n=1}^\infty b_{2n-1}$ 은 수렴하고 그 합은 $-3$ 이다. (나) 급수 $\sum \limits_{n=1}^\infty b_{2n}$ 은 수렴하고 그 합은 $8$ 이다. $b_3=-1$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^\infty |a_n|$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $24$
두 상수 $a, \; b \; (b \ne 1)$ 과 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 도함수 $g'(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (나) $|x| \lt 2$ 일 때, $g(x)=\displaystyle \int_0^x (-t+a) dt$ 이고 $|x| \ge 2$ 일 때, $|g'(x)| = f(x)$ 이다. (다) 함수 $g(x)$ 는 $x=1$, $x=b$ 에서 극값을 갖는다. $g(k)=0$ 을 만족시키는 모든 실수 $k$ 의 값의 합이 $p+q\sqrt{3}$ 일 때, $p \times q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 유리수이다.) 더보기 정답 $32$
함수 $f(x)=e^x (2 \sin x + \cos x)$ 에 대하여 $f'(0)$ 의 값은? ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ①
수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 급수 $\sum \limits_{n=1}^\infty \left (a_n - \dfrac{2^{n+1}}{2^n+1} \right )$ 이 수렴할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2^n \times a_n + 5 \times 2^{n+1}}{2^n+3}$ 의 값은? ① $6$ ② $8$ ③ $10$ ④ $12$ ⑤ $14$ 더보기 정답 ④