수악중독

자연수 $a$ 에 대하여 닫힌구간 $[0, \; 1]$ 에서 정의된 함수 $$f(x)=2x^3-3x^2+\dfrac{a}{10}x$$ 가 있다. 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=t$ 가 $0 \le x \le 1$ 인 범위에서 만나는 교점의 개수를 $H(t)$ 라 하자. $H(t)=3$ 을 만족시키는 실수 $t$ 가 존재하도록 하는 모든 자연수 $a$ 값의 합을 구하시오. 더보기 정답 $60$

$f(1)=-2$ 인 다항함수 $f(x)$ 에 대하여 일차함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)g(x)+4}{x-1}=8$ (나) $g(0)=g'(0)$ $f'(1)$ 의 값은? ① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$ 더보기 정답 ①

최고차항의 계수가 $4$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)= \displaystyle \int_0^x f(t) dt-xf(x)$$ 라 하자. 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(x) \le g(3)$ 이고 함수 $g(x)$ 는 오직 $1$ 개의 극값만 가진다. $\displaystyle \int_0^1 g'(x)dx$ 의 값은? ① $8$ ② $9$ ③ $10$ ④ $11$ ⑤ $12$ 더보기 정답 ②

함수 $f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax$ 에 대하여 방정식 $f(x)=0$ 이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 자연수 $a$ 의 값을 가장 작은 수부터 차례대로 나열할 때 $n$ 번째 수를 $a_n$ 이라 하자. $a=a_n$ 일 때, $f(x)$ 의 극댓값을 $b_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^{10} (b_n - a_n)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $160$

최고차항의 계수가 $a$ 인 이차함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$ \left | f'(x) \right | \le 4x^2+5$$ 를 만족시킨다. 함수 $y=f(x)$ 의 그래프의 대칭축이 직선 $x=1$ 일 때, 실수 $a$ 의 최댓값은? ① $\dfrac{3}{2}$ ② $2$ ③ $\dfrac{5}{2}$ ④ $3$ ⑤ $\dfrac{7}{2}$ 더보기 정답 ②

방정식 $x^3 -x^2 -8x+k=0$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $2$ 일 때, 양수 $k$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $12$

이차함수 $f(x)$ 는 $x=-1$ 에서 극대이고, 삼차함수 $g(x)$ 는 이차항의 계수가 $0$ 이다. 함수 $$h(x)=\begin{cases} f(x) & (x \le 0) \\[10pt] g(x) & (x>0) \end{cases}$$ 이 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킬 때, $h'(-3)+h'(4)$ 의 값을 구하시오. (가) 방정식 $h(x)=h(0)$ 의 모든 실근의 합은 $1$ 이다.(나) 닫힌구간 $[-2, \; 3]$ 에서 함수 $h(x)$ 의 최댓값과 최솟값의 차는 $3+4\sqrt{3}$ 이다. 정답 $38$

함수 $$f(x)=x^3 -3px^2 + q$$ 가 다음 조건을 만족시키도록 하는 $25$ 이하의 두 자연수 $p, \; q$ 의 모든 순서쌍 $(p, \; q)$ 의 개수를 구하시오. (가) 함수 $|f(x)|$ 가 $x=a$ 에서 극대 또는 극소가 되도록 하는 모든 실수 $a$ 의 개수는 $5$ 이다. (나) 닫힌구간 $[-1, \; 1]$ 에서 함수 $|f(x)|$ 의 최댓값과 닫힌구간 $[-2, \; 2]$ 에서 함수 $|f(x)|$ 의 최댓값은 같다. 정답 $14$ 1), 2), 3), 4) 에 의하여 조건을 만족하는 $(p, \; q)$ 의 순서쌍의 개수는 14개

좌표평면에서 세 점 ${\rm O}(0, \; 0), \; {\rm A}\left ( \sqrt{2}, \; 0 \right ), \; {\rm B} \left (0, \; \sqrt{2} \right ) $ 가 있다. 점 $\rm O$ 를 중심으로 하는 원 $C$ 의 반지름의 길이가 $t$ 일 때, 삼각형 $\rm ABP$ 의 넓이가 자연수인 원 $C$ 위의 점 $\rm P$ 의 개수를 함수 $f(t)$ 라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 점 $\rm P$ 는 직선 $\rm AB$ 위에 있지 않다. ) ㄱ. $f \left (\dfrac{1}{2} \right ) = 2$ ㄴ. $\lim \limits_{t \to 1+} f(t) \ne f(1)$ ㄷ. $0

양의 실수 $t$ 와 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(t) = \dfrac{f(t)-f(0)}{t}$$ 이라 하자. 두 함수 $f(x)$ 와 $g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) 함수 $g(t)$ 의 최솟값은 $0$ 이다. (나) $x$ 에 대한 방정식 $f'(x)=g(a)$ 를 만족시키는 $x$ 의 값은 $a$ 와 $\dfrac{5}{3}$ 이다. (단, $a>\dfrac{5}{3}$ 인 상수이다.) 자연수 $m$ 에 대하여 집합 $A_m$ 을 $$A_m = \{x \; | \; f'(x)=g(m), \; 0