함수의 그래프와 미분_난이도 상 (2020년 수능예비평가 공통 22번)

함수 $$f(x)=x^3 -3px^2 + q$$ 가 다음 조건을 만족시키도록 하는 $25$ 이하의 두 자연수 $p, \; q$ 의 모든 순서쌍 $(p, \; q)$ 의 개수를 구하시오.

(가) 함수 $|f(x)|$ 가 $x=a$ 에서 극대 또는 극소가 되도록 하는 모든 실수 $a$ 의 개수는 $5$ 이다.
(나) 닫힌구간 $[-1, \; 1]$ 에서 함수 $|f(x)|$ 의 최댓값과 닫힌구간 $[-2, \; 2]$ 에서 함수 $|f(x)|$ 의 최댓값은 같다.

정답 $14$

<다른 풀이>

1), 2), 3), 4) 에 의하여 조건을 만족하는 $(p, \; q)$ 의 순서쌍의 개수는 14개