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목록수학1- 문제풀이/수열 (183)
수악중독
수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} a_n +n & (a_n
함수 $f(x)=1+2\sqrt{3} \sin \left ( \dfrac{2}{3} \pi x \right )$ 와 자연수 $n$ 에 대하여 $S(n)=\sum \limits_{k=1}^n kf(k)$ 라 할 때, $$S(n) > S(n+1)$$ 을 만족시키는 $20$ 이하의 자연수 $n$ 의 최댓값을 $m$ 이라 하자. $S(m)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $229$
첫째항이 $1$ 인 수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. 다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$(n+1) S_{n+1} = \log_2 (n+2) + \sum \limits_{k=1}^n S_k \cdots (*)$$ 가 성립할 때, $\sum \limits_{k=1}^n ka_k$ 를 구하는 과정이다. 주어진 식 $(*)$ 에 의하여 $nS_n = \log_2 (n+1)+\sum \limits_{k=1}^{n-1}S_k \; (n\ge 2) \cdots \text{㉠}$ 이다. $(*)$ 에서 ㉠을 빼서 정리하면 $(n+1)S_{n+1}-nS_n \\ ~~~ = \log_2(n+2) - \log_2(n+1) + \sum \limits_{k=1}^n S_k..
공차가 $d$ 이고 모든 항이 자연수인 등차수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_1 \le d$ (나) 어떤 자연수 $k \; (k \ge 3)$ 에 대하여 세 항 $a_2, \; a_k, \; a_{3k-1}$ 이 이 순서대로 등비수열을 이룬다. $90 \le a_{16} \le 100$ 일 때, $a_{20}$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $117$
수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{1}{a_n} & (n \; 이 \; 홀수인 \; 경우) \\[10pt] 8a_n & (n\;이 \; 짝수인 \; 경우) \end{cases}$$ 이고, $a_{12} = \dfrac{1}{2}$ 일 때, $a_1 + a_4 $ 의 값은? ① $\dfrac{3}{4}$ ② $\dfrac{9}{4}$ ③ $\dfrac{5}{2}$ ④ $\dfrac{17}{4}$ ⑤ $\dfrac{9}{2}$ 더보기 정답 ⑤
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 구간 $(0, \; 1]$ 에서 $$f(x) = \begin{cases} 3 & (0
$4$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $n$ 이하의 네 자연수 $a, \; b, \; c, \; d$ 가 있다. (가) $a>b$ (나) 좌표평면 위의 두 점 ${\rm A}(a, \; b), \; {\rm B}(c, \; d)$ 와 원점 $\rm O$ 에 대하여 삼각형 $\rm OAB$ 는 $\angle {\rm A} = \dfrac{\pi}{2}$ 인 직각이등변삼각형이다. 다음은 $a, \; b, \; c, \; d$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c, \; d)$ 의 개수를 $T_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=4}^{20} T_n$ 의 값을 구하는 과정이다. 점 ${\rm A}(a, \; b)$ 에 대하여 점 ${\rm B}(c, \; d)$ ..
첫째항이 자연수인 수열 ${a_n}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases}a_n -2 & (a_n \ge 0) \\ a_n+5 & (a_n
자연수 $n$ 에 대하여 점 ${\rm A}_n \left (n, \; n^2 \right )$ 을 지나고 직선 $y=nx$ 에 수직인 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 ${\rm B}_n$ 이라 하자. 다음은 삼각형 ${\rm A}_n{\rm OB}_n$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^8 \dfrac{S_n}{n^3}$ 의 값을 구하는 과정이다. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 점 ${\rm A}_n \left (n, \; n^2 \right )$ 을 지나고 $y=nx$ 에 수직인 직선의 방정식은 $$y= \boxed{\; (가) \; } \times x +n^2+1$$ 이므로 두 점 ${\rm A}_n, \; {\rm B}_n$ 의 좌표를 이용하여 $S_n..
상수 $k\; (k>1)$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$ 이 있다. 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n 1$ 이므로 방정식 $2^x=kx+1$ 은 오직 하나의 양의 실근 $d$ 를 갖는다. 따라서 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{n+1}-a_n=d$ 이고, 수열 $\{a_n\}$ 은 공차가 $d$ 인 등차수열이다. 점 ${\rm Q}_n$ 의 좌표가 $\left ( a_{n+1}, \; 2^{a_n} \right )$ 이므로 $$A_n = \dfrac{1}{2} (a_{n+1} - a_n ) \left ( 2^{a_{n+1}}-2^{a_n} \right )$$ 이다. $\dfrac{A_3}{A_1} = 16$ 이므로 $d$ 의 값은 $\boxed{ \; (가) \; }..