수열의 합과 일반항과의 관계&로그의 성질_난이도 상 (2021년 7월 전국연합 고3 13번)

첫째항이 $1$ 인 수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. 다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$(n+1) S_{n+1} = \log_2 (n+2) + \sum \limits_{k=1}^n S_k \cdots (*)$$ 가 성립할 때, $\sum \limits_{k=1}^n ka_k$ 를 구하는 과정이다.

 

주어진 식 $(*)$ 에 의하여

   $nS_n = \log_2 (n+1)+\sum \limits_{k=1}^{n-1}S_k \; (n\ge 2) \cdots \text{㉠}$

이다. $(*)$ 에서 ㉠을 빼서 정리하면

    $(n+1)S_{n+1}-nS_n \\ ~~~ = \log_2(n+2) - \log_2(n+1) + \sum \limits_{k=1}^n S_k - \sum \limits_{k=1}^{n-1} S_k \; (n \ge 2)$

이므로

   $\left ( \boxed{\text{ (가) }}\right ) \times a_{n+1} = \log_2 \dfrac{n+2}{n+1} \; (n\ge 2)$

이다. $a_1 = 1 = \log_2 2$ 이고,

$2S_2 = \log_23+ S_1 = \log_2 3 + a_1$ 이므로

모든 자연수 $n$ 에 대하여

   $na_n = \boxed{ \text{ (나) }}$

이다. 따라서

   $\sum \limits_{k=1}^n k a_k = \boxed{\text{ (다) }}$

이다. 

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(n), \; g(n), \; h(n)$ 이라 할 때, $f(8)-g(8)+h(8)$ 의 값은?

 

① $12$          ② $13$          ③ $14$          ④ $15$          ⑤ $16$

 

정답 ①