정적분 형태로 정의된 함수 & 넓이와 적분_난이도 상 (2023년 4월 전국연합 고3 22번)

 

 

두 상수 $a, \; b \; (b \ne 1)$ 과 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 

 

(가) 함수 $g(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 도함수 $g'(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(나) $|x| \lt 2$ 일 때, $g(x)=\displaystyle \int_0^x (-t+a) dt$ 이고 $|x| \ge 2$ 일 때, $|g'(x)| = f(x)$ 이다. 

(다) 함수 $g(x)$ 는 $x=1$, $x=b$ 에서 극값을 갖는다.

 

$g(k)=0$ 을 만족시키는 모든 실수 $k$ 의 값의 합이 $p+q\sqrt{3}$ 일 때, $p \times q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 유리수이다.)

 

정답 $32$