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목록기하 - 문제풀이/공간도형과 공간좌표 (31)
수악중독
좌표공간에 정사면체 $\rm ABCD$ 가 있다. 정삼각형 $\rm BCD$ 의 외심을 중심으로 하고 점 $\rm B$ 를 지나는 구를 $S$ 라 하자. 구 $S$ 와 선분 $\rm AB$ 가 만나는 점 중 $\rm B$ 가 아닌 점을 $\rm P$, 구 $S$ 와 선분 $\rm AC$ 가 만나는 점 중 $\rm C$ 가 아닌 점을 $\rm Q$, 구 $S$ 와 선분 $\rm AD$ 가 만나는 점 중 $\rm D$ 가 아닌 점을 $\rm R$ 라 하고, 점 $\rm P$ 에서 구 $S$ 에 접하는 평면을 $\alpha$ 라 하자. 구 $S$ 의 반지름의 길이가 $6$ 일 때, 삼각형 $\rm PQR$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이는 $k$ 이다. $k^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답..
그림과 같이 한 변의 길이가 $4$ 인 정삼각형을 밑면으로 하고 높이가 $4+2\sqrt{3}$ 인 정삼각기둥 $\rm ABC-DEF$ 와 $\overline{\rm DG}=4$ 인 선분 $\rm AD$ 위의 점 $\rm G$ 가 있다. 점 $\rm H$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 삼각형 $\rm CGH$ 의 평면 $\rm ADEB$ 위로의 정사영은 정삼각형이다. (나) 삼각형 $\rm CGH$ 의 평면 $\rm DEF$ 위로의 정사영의 내부와 삼각형 $\rm DEF$ 의 내부의 공통부분의 넓이는 $2 \sqrt{3}$ 이다. 삼각형 $\rm CGH$ 의 평면 $\rm ADFC$ 위로의 정사영의 넓이를 $S$ 라 할 때, $S^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $48$
좌표공간에 점 $(4, \; 3, \; 2)$ 를 중심으로 하고 원점을 지나는 구 $$S:(x-4)^2+(y-3)^2+(z-2)^2=29$$ 가 있다. 구 $S$ 위의 점 ${\rm P}(a, \; b, \; 7)$ 에 대하여 직선 $\rm OP$ 를 포함하는 평면 $\alpha$ 가 구 $S$ 와 만나서 생기는 원을 $C$ 라 하자. 평면 $\alpha$ 와 원 $C$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 $\rm OP$ 와 $xy$ 평면이 이루는 각의 크기와 평면 $\alpha$ 와 $xy$ 평면이 이루는 각의 크기는 같다. (나) 선분 $\rm OP$ 는 원 $C$ 의 지름이다 $a^2+b^2
좌표공간에 두 개의 구 $$S_1 : x^2+y^2 +(z-2)^2=4, \quad S_2 : x^2 +y^2+(z+7)^2=49$$ 가 있다. 점 ${\rm A} \left ( \sqrt{5}, \; 0, \; 0 \right )$ 을 지나고 $zx$ 평면에 수직이며, 구 $S_1$ 과 $z$ 좌표가 양수인 한 점에서 접하는 평면을 $\alpha$ 라 하자. 구 $S_2$ 가 평면 $\alpha$ 와 만나서 생기는 원을 $C$ 라 할 때, 원 $C$ 위의 점 중 $z$ 좌표가 최소인 점을 $\rm B$ 라 하고 구 $S_2$ 와 점 $\rm B$ 에서 접하는 평면을 $\beta$ 라 하자. 원 $C$ 의 평면 $\beta$ 위로의 정사영의 넓이가 $\dfrac{q}{p}\pi$ 일 때, $p+q$ 의 ..
공간에서 중심이 $\rm O$ 이고 반지름의 길이가 $4$ 인 구와 점 $\rm O$ 를 지나는 평면 $\alpha$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 와 구가 만나서 생기는 원 위의 서로 다른 세 점 $\rm A, \; B, \; C$ 에 대하여 두 직선 $\rm OA, \; BC$ 가 서로 수직일 때, 구 위의 점 $\rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\angle {\rm PAO} = \dfrac{\pi}{3}$ (나) 점 $\rm P$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영은 선분 $\rm OA$ 위에 있다. $\cos (\angle {\rm PAB})=\dfrac{\sqrt{10}}{8}$ 일 때, 삼각형 $\rm PAB$ 의 평면 $\rm PAC$ 위로의 정사영의 넓이를 $S$ 라 ..
좌표공간에 중심이 $\rm C \left (2, \; \sqrt{5}, \; 5 \right )$ 이고 점 $\rm P(0, \; 0, \; 1)$ 을 지나는 구 $$S \; : \; (x-2)^2+ \left (y-\sqrt{5} \right )^2 +(z-5)^2=25$$ 가 있다. 구 $S$ 가 평면 $\rm OPC$ 와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점 $\rm Q$, 구 $S$ 위를 움직이는 점 $\rm R$ 에 대하여 두 점 $\rm Q, \; R$ 의 $xy$ 평면 위로의 정사영을 각각 $\rm Q_1, \; R_1$ 이라 하자. 삼각형 $\rm OQ_1R_1$ 의 넓이가 최대가 되도록 하는 두 점 $\rm Q, \; R$ 에 대하여 삼각형 $\rm OQ_1R_1$ 의 평면 $\rm PQR..
한 변의 길이가 $4$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 를 한 면으로 하는 사면체 $\rm ABCD$ 의 꼭짓점 $\rm A$ 에서 평면 $\rm BCD$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 할 때, 점 $\rm H$ 는 삼각형 $\rm BCD$ 의 내부에 놓여 있다. 직선 $\rm DH$ 가 선분 $\rm BC$ 와 만나는 점을 $\rm E$ 라 할 때, 점 $\rm E$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\angle \rm AEH = \angle DAH$ (나) 점 $\rm E$ 는 선분 $\rm CD$ 를 지름으로 하는 원 위의 점이고 $\overline{\rm DE}=4$ 이다. 삼각형 $\rm AHD$ 의 평면 $\rm ABD$ 위로의 정사영의 넓이는 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p..
그림과 같이 한 변의 길이가 $8$ 인 정사각형 $\rm ABCD$ 에 두 선분 $\rm AB, \; CD$ 를 각각 지름으로 하는 두 반원이 붙어 있는 모양의 종이가 있다. 반원의 호 $\rm AB$ 의 삼등분점 중 점 $\rm B$ 에 가까운 점을 $\rm P$ 라 하고, 반원의 호 $\rm CD$ 를 이등분하는 점을 $\rm Q$라 하자. 이 종이에서 두 선분 $\rm AB$ 와 $\rm CD$ 를 접는 선으로 하여 두 반원을 접어 올렸을 때, 두 점 $\rm P, \; Q$ 에서 평면 $\rm ABCD$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm G, \; H$ 라 하면 두 점 $\rm G, \; H$ 는 정사각형 $\rm ABCD$ 의 내분에 놓여 있고, $\overline{\rm PG} = \sqrt..
[그림 1]과 같이 $\overline{\rm AB}=3, \; \overline{\rm AD}=2\sqrt{7}$ 인 직사각형 $\rm ABCD$ 모양의 종이가 있다. 선분 $\rm AD$ 의 중점을 $\rm M$ 이라 하자. 두 선분 $\rm BM, \; CM$ 을 접는 선으로 하여 [그림 2]와 같이 두 점 $\rm A, \; D$ 가 한 점 $\rm P$ 에서 만나도록 종이를 접었을 때, 평면 $\rm PMB$ 과 평면 $\rm BCM$ 이 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 하자. $\cos \theta$ 의 값은? (단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.) ① $\dfrac{17}{27}$ ② $\dfrac{2}{3}$ ③ $\dfrac{19}{27}$ ④ $\dfrac{20}{27}$ ⑤ ..
그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 있는 서로 다른 두 점 $\rm A, \; B$ 와 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 서로 다른 네 점 $\rm C, \; D, \; E, \; F$ 가 있다. 사각형 $\rm ABCD$ 는 한 변의 길이가 $6$ 인 정사각형이고 사각형 $\rm ABEF$ 는 $\overline{\rm AF}=12$ 인 직사각형이다. 정사각형 $\rm ABCD$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이는 $18$ 이고, 점 $\rm F$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 $\rm H$ 라 하면 $\overline{\rm FH}=6$ 이다. 정사각형 $\rm ABCD$ 의 평면 $\rm ABEF$ 위로의 정사영의 넓이는? (단, $0