수악중독

$\overline{\mathrm{AB}}=2$, $\overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{5}$ 인 직사각형 $\mathrm{ABCD}$ 를 밑면으로 하고 $\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{OC}}=\overline{\mathrm{OD}}=2$ 인 사각뿔 $\mathrm{O-ABCD}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{OA}$ 의 중점을 $\mathrm{M}$ 이라 하고, 점 $\mathrm{M}$ 에서 평면 $\mathrm{OBD}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. 선분 $\mathrm{BH}$ 의 길이를 $k$ 라 할 때, $90k^2$ 의 값을 구하시오.   더보기정답 $220$

공간에 점 $\mathrm{P}$ 를 포함하는 평면 $\alpha$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 서로 다른 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 각각 $\mathrm{A', \; B'}$ 이라 할 때, $$\overline{\mathrm{AA'}}=9, \quad \overline{\mathrm{A'P}}=\overline{\mathrm{A'B'}}=5, \quad \overline{\mathrm{PB'}}=8$$ 이다. 선분 $\mathrm{PB'}$ 의 중점 $\mathrm{M}$ 에 대하여 $\angle \mathrm{MAB}=\dfrac{\pi}{2}$ 일 때, 직선 $\mathrm{BM}$ 과 평면 $\mathrm{APB'}$ 이 ..

밑면의 반지름의 길이가 $3$, 높이가 $3$ 인 원기둥이 있다. 이 원기둥의 한 밑면의 둘레 위의 한 점 $\mathrm{P}$ 에서 다른 밑면에 내린 수선의 발을 $\mathrm{P'}$ 이라 하고, 점 $\mathrm{P}$ 를 포함하는 밑면의 중심을 $\mathrm{O}$ 라 하자. 점 $\mathrm{P'}$ 을 포함하는 밑면의 둘레 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 에 대하여 점 $\mathrm{O}$ 에서 선분 $\mathrm{AB}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{BP'}}=6$, $\overline{\mathrm{OH}}=\sqrt{13}$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{PAH}$ 의 넓이는? ① $\sq..

좌표공간에 평면 $\alpha$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 서로 다른 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 각각 $\mathrm{A', \; B'}$ 이라 할 때, $$\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{A'B'}}=6$$ 이다. 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점 $\mathrm{M}$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 $\mathrm{M'}$ 이라 할 때, $$\overline{\mathrm{PM'}} \bot \overline{\mathrm{A'B'}}, \quad \overline{\mathrm{PM'}}=6$$ 이 되도록 평면 $\alpha$ 위에 점 $\mathrm{P}$ 를 잡는..

그림과 같이 서로 다른 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 의 교선 위에 $\overline{\mathrm{AB}}=18$ 인 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 원 $C_1$ 이 평면 $\alpha$ 위에 있고, 선분 $\mathrm{AB}$ 를 장축으로 하고 두 점 $\mathrm{F, \; F'}$ 을 초점으로 하는 타원 $C_2$ 가 평면 $\beta$ 위에 있다. 원 $C_1$ 위의 한 점 $\mathrm{P}$ 에서 평면 $\beta$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 할 때, $\overline{\mathrm{HF'}}

평면 $\alpha$ 위에 $\overline{\mathrm{AB}}=6$ 이고 넓이가 $12$ 인 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $\mathrm{P}$ 에서 평면 $\alpha$ 에 내린 수선의 발이 점 $\mathrm{C}$ 와 일치한다. $\overline{\mathrm{PC}}=2$ 일 때, 점 $\mathrm{P}$ 와 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리는? ① $3\sqrt{2}$ ② $2\sqrt{5}$ ③ $\sqrt{22}$ ④ $2\sqrt{6}$ ⑤ $\sqrt{26}$ 더보기 정답 ②

좌표공간에 구 $S:x^2+y^2+ \left (z-\sqrt{5} \right )^2 = 9$ 가 $xy$ 평면과 만나서 생기는 원을 $C$ 라 하자. 구 $S$ 위에 네 점 $\mathrm{A, \; B, \; C, \; D}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 선분 $\mathrm{AB}$ 는 원 $C$ 의 지름이다. (나) 직선 $\mathrm{AB}$ 는 평면 $\mathrm{BCD}$ 에 수직이다. (다) $\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{BD}}=\sqrt{15}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 평면 $\mathrm{ABD}$ 위로의 정사영의 넓이를 $k$ 라 할 때, $k^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $15$

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=3, \; \overline{\mathrm{AD}}=3, \; \overline{\mathrm{AE}}=6$ 인 직육면체 $\mathrm{ABCD-EFGH}$ 가 있다. 삼각형 $\mathrm{BEG}$ 의 무게중심을 $\mathrm{P}$ 라 할 때, 선분 $\mathrm{DP}$ 의 길이는? ① $2\sqrt{5}$ ② $2\sqrt{6}$ ③ $2\sqrt{7}$ ④ $4\sqrt{2}$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ②

좌표공간에 중심이 $\mathrm{A}(0, 0, 1)$ 이고 반지름의 길이가 $4$ 인 구 $S$ 가 있다. 구 $S$ 가 $xy$ 평면과 만나서 생기는 원을 $C$ 라 하고, 점 $\mathrm{A}$ 에서 선분 $\mathrm{PQ}$ 까지의 거리가 $2$ 가 되도록 원 $C$ 위에 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 를 잡는다. 구 $S$ 가 선분 $\mathrm{PQ}$ 를 지름으로 하는 구 $T$ 와 만나서 생기는 원 위에서 점 $\mathrm{B}$ 가 움직일 때, 삼각형 $\mathrm{BPQ}$ 의 $xy$ 평면 위로의 정사영의 넓이의 최댓값은? (단, 점 $\mathrm{B}$ 의 $z$ 좌표는 양수이다.) ① $6$ ② $3\sqrt{6}$ ③ $6\sqrt{2}$ ④ $3\sq..

공간에 선분 $\mathrm{AB}$ 를 포함하는 평면 $\alpha$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $\mathrm{C}$ 에서 평면 $\alpha$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 할 때, 점 $\mathrm{H}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\angle \mathrm{AHB}=\dfrac{\pi}{2}$ (나) $\sin (\angle \mathrm{CAH} = \sin (\angle \mathrm{ABH}) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 평면 $\mathrm{ABC}$ 와 평면 $\alpha$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\cos \theta$ 의 값은? (단, 점 $\mathrm{H}$ 는 선분 $\mathrm..