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목록(9차) 미적분 II 문제풀이 (361)
수악중독
\(0 \leq x \leq \pi\) 에서 정의된 함수 \[f(x)=2 \sin \left ( x + \dfrac{\pi}{3} \right ) + \sqrt{3} \cos x\] 가 \(x=\theta\) 에서 최댓값 \(M\) 을 가질 때, \(M \cos \theta\) 의 값은? ① \(1\) ② \(\sqrt{2}\) ③ \(\sqrt{3}\) ④ \(2\) ⑤ \(2 \sqrt{3}\) 정답 ⑤
삼차항의 계수가 각각 \(1, \;2\) 인 두 삼차함수 \(f(x), g(x)\) 및 일차함수 \(y=h(x)\) 의 그래프가 다음과 같다. \(\displaystyle \int _a ^c f(x) dx=-4\), \(\displaystyle \int _b ^c g(x) dx +12=\dfrac{1}{2} (c-b)\{g(b)+g(c)\}\) 일 때, \(y=f(x)\) 의 그래프와 \(x\) 축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이의 곱을 구하시오. 정답 12
좌표공간의 \(-1 \le x \le 1\) 인 부분에 입체도형 \(T\) 가 있다. 입체 도형 \(T\) 를 \(x\) 축과 수직인 평면으로 자른 단면은 이 평면이 두 곡선 \(C_1 \;:\; y=1-x^2 ,\;\; z=0\), \(C_2 \;:\; z=1-x^2 ,\;\; y=0\) 및 \(x\) 축과 만나는 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형이다. 입체도형 \(T\) 의 부피를 \(\dfrac{n}{m}\) 이라 할 때, \(m+n\) 의 값을 구하시오. (단, \(m,\;n\) 은 서로소인 자연수이다.) 정답 23
최고차항의 계수가 \(1\) 인 삼차함수 \(f(x)\) 의 역함수를 \(g(x)\) 라 할 때, \(g(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(g(x)\) 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 \(g'(x) \le \dfrac{1}{3}\) 이다.(나) \(\lim \limits_{x \to 3} \dfrac{f(x)-g(x)}{(x-3)g(x)} = \dfrac{8}{9}\) \(f(1)\) 의 값은? ① \(-11\) ② \(-9\) ③ \(-7\) ④ \(-5\) ⑤ \(-3\) 정답 ①
한 변의 길이가 \(6\) 인 정사면체 \(\rm A-BCD\) 의 변 \(\rm AB,\; AC, \; AD\) 위에 꼭짓점 \(\rm A\) 로부터 같은 거리에 있는 점 \(\rm P, \; Q, \;R\) 을 잡아 면 \(\rm BCD\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm P',\; Q',\;R'\) 이라 하자. 삼각기둥 \(\rm PQR-P'Q'R'\) 의 부피의 최댓값을 \(V\) 라고 할 때, \(V^2\) 의 값을 구하시오.정답 128
다음은 구분구적법에 의하여 반지름의 길이가 \( r \) 인 구의 부피를 구하는 과정이다. 정답 ③
양의 실수에서 정의된 연속함수 \(f(x)\) 가 임의의 양수 \(x\) 에 대하여 \[\displaystyle \int_{x}^{x^2} f(t) dt = \int_{1}^{x} f(t) dt ,\;\;f(1)=1\] 을 만족한다. 이때, \(100 \left \{ f(1)-f(2) \right \}\) 의 값은? ① \(-100\) ② \(-50\) ③ \(1\) ④ \(50\) ⑤ \(100\) 정답 ④
미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 임의의 양수 \(x,\;y\) 에 대햐어 \(f(xy)=f(x)+f(y)\) 를 만족하고, \(f\;'(1)=2\) 일 때, \(f \left ( {\displaystyle \frac{1}{e^2}} \right )\) 의 값은? ① \(4\) ② \(2\) ③ \(1\) ④ \(-2\) ⑤ \(-4\) 정답 ⑤
두 상수 \(a,\;b\)에 대하여 \(A={\displaystyle \frac{1}{2}} \left ( \tan a + \tan b \right ),\;B= \tan \left ({\displaystyle \frac{a+b}{2}} \right ),\; C=\sqrt{\tan a \cdot \tan b} \) 일 때, 세 수 \(A,\;B,\;C\)의 대소관계는? \( \left ( 단,\; 0 \le a
모든 실수 \(x\) 에 대하여 \( \displaystyle \int_0^x {\left( {x - t} \right)f\left( t \right)dt = {{\displaystyle \frac {1}{2}}}{x^2} - x + \sin x} \) 를 만족시키는 함수 \(f(x)\) 가 있다. 구간 \([0, \; 2 \pi]\) 에서 곡선 \(y=f \left ( x + {\displaystyle \frac{\pi}{2}} \right ) \) 와 \(x\) 축으로 둘러싸인 부분을 \(x\) 축의 둘레로 회전시킬 때 생기는 입체의 부피를 \(V\) 라 할 때, \(\displaystyle \frac{V}{\pi ^2}\) 의 값을 구하시오. 정답 3