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목록(9차) 미적분 II 문제풀이 (361)
수악중독
최고차항의 계수가 \(1\) 인 삼차함수 \(f(x)\) 에 대하여 모든 실수에서 연속인 함수 \(g(x)\) 를 \[g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{cl} {\dfrac{{f\left( x \right) - 1}}{{x - 1}}}&{\left( {x \ne 1} \right)}\\a&{\left( {x = 1} \right)} \end{array}} \right.\] 로 정의하자. \(g(3)=g(1)\) 이고 \(g(x)\) 의 최솟값이 \(3\) 일 때, \(f(a)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(22\)
함수 \(f(x)\) 가 \[f(\cos x)=\sin 2x + \tan x\;\; \left ( 0
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 있다. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(2x)=2f(x)f'(x)\) 이고, \(f(a)=0,\;\; \displaystyle \int_{2a}^{4a} \dfrac{f(x)}{x} dx=k \;(a>0,\; 0
예각삼각형 \(\rm ABC\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\rm A
함수 \(f(x)=x^3 +x-1\) 의 역함수를 \(g(x)\) 라 할 때, \(\displaystyle \int _1 ^9 g(x) dx\) 의 값은?① \(\dfrac{47}{4}\) ② \(\dfrac{49}{4}\) ③ \(\dfrac{51}{4}\) ④ \(\dfrac{53}{4}\) ⑤ \(\dfrac{55}{4}\) 정답 ③
아래 그림은 직선 \(y=x\) 와 다항함수 \(y=f(x)\) 의 그래프의 일부이다. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f'(x)\geq 0\) 이고, \(f(0)=\dfrac{1}{5},\; f(1)=1\) 일 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은?ㄱ. \(f'(x)=\dfrac{4}{5}\) 인 \(x\) 가 열린구간 \((0,\;1)\) 에 존재한다.ㄴ. \(\displaystyle \int_0 ^1 f(x) dx+ \displaystyle \int _\frac{1}{5} ^1 f^{-1} (x) dx =1\) ㄷ. \(g(x)=(f\circ f)(x)\) 일 때, \(g'(x)=1\) 인 \(x\) 가 열린구간 \((0, \;1)\) 에 존재한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ..
연속함수 \(f(x)\) 가 \(f(x)+f(-x)=x^2 -1\) 을 성립시킬 때, \(\displaystyle \int _{-1}^{1} f(x) dx\) 의 값은? ① \(-\dfrac{2}{3}\) ② \(-\dfrac{1}{3}\) ③ \(\dfrac{1}{3}\) ④ \(\dfrac{2}{3}\) ⑤ \(\dfrac{4}{3}\) 정답 ①
다항함수 \(f(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(-x)=-f(x)\) 를 만족시킨다. 함수 \(g(x)\) 를 \[g(x)=\dfrac{d}{dx} \displaystyle \int _{-\frac{\pi}{2}}^{x} \cos x \cdot f(t) dt\] 라 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(g(0)=0\) ㄴ. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(g(-x)=-g(x)\) 이다.ㄷ. \(g'(x)=0\) 인 실수 \(c\) 가 열린구간 \(\left ( - \dfrac{\pi}{2}, \; \dfrac{\pi}{2} \right ) \) 에서 적어도 두 개 존재한다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
곡선 \(y=\left ( \ln \dfrac{1}{ax} \right ) ^2\) 의 변곡점이 직선 \(y=2x\) 위에 있을 때, 양수 \(a\) 의 값은? ① \( e\) ② \(\dfrac{5}{4}e\) ③ \( \dfrac{3}{2}e\) ④ \(\dfrac{7}{4}e\) ⑤ \(2e\) 정답 ⑤
함수 \(f(x)=\displaystyle \int _0^x \dfrac{1}{a+x^2} dt\)에 대하여 상수 \(a\) 가 \(f(a)=\dfrac{1}{2}\) 을 만족시킬 때, \(\displaystyle \int _0^a \dfrac{e^{f(x)}}{a+x^6} dx \) 의 값은? ① \(\dfrac{\sqrt{e}-1}{2}\) ② \(\sqrt{e}-1\) ③ \( 1 \) ④ \(\dfrac{\sqrt{e}+1}{2}\) ⑤ \(\sqrt{e}+1\) 정답 ②