수악중독

다음은 곡선 \(y=e^x\) 위의 점 \({\rm P}(x,\;y)\) 에서의 접선이 \(x\) 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 \(f(x)\) 라 할 때, \(\displaystyle \int _{-1}^{1} f(x) dx\) 의 값을 구하는 과정이다. \(\left ( 단, \; 0

그림과 같이 높이가 \(30 \rm cm\) 인 그릇 \(\rm A\) 에 물이 가득 채워져 있고, 그릇 \(\rm A\) 바로 아래에 밑면의 반지름의 길이가 \(20 \rm cm\) 이고 높이가 \(30 \rm cm\) 인 원기둥 모양의 그릇 \(\rm B\)가 있다. 그릇 \(\rm A\) 에 반지름의 길이가 \(10 \rm cm\)인 쇠공 \(\rm C\) 를 매초 \(1 \rm cm\) 의 속력으로 잠기도록 넣으면 그릇 \(\rm A\) 에서 넘쳐 나온 물이 모두 그릇 \(\rm B\) 에 채워진다. 쇠공이 물에 잠기기 시작하여 \(10\)초가 되는 순간 그릇 \(\rm B\) 에서 수면이 상승하는 속도는? (단, 그릇 \(\rm A\) 에 넘쳐 나온 물이 그릇 \(\rm B\) 에 떨어지는 시간..

한 변의 길이가 \(2\) 인 정사각형 \(\rm ABCD\) 의 각 변의 중점을 각각 \(\rm E,\; F,\; G,\; H\) 라고 하자. 그림과 같이 합동인 \(4\) 개의 포물선으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이가 \(\dfrac{b\sqrt{2}}{a}- \dfrac{d}{c}\) 일 때, \(a+b+c+d\) 의 값을 구하시오. (단, \(a\) 와 \(b\), \(c\) 와 \(d\) 는 각각 서로소인 자연수이다.) 정답 21

모든 실수 \(a\) 에 대하여 직선 \(x+2ay=a^2 +1\) 이 지나지 않는 영역을 \(A\) 라 하자. 영역 \(A\) 중에서 \(x \ge 0\) 인 부분을 \(y\) 축의 둘레로 회전하여 생긴 회전체의 부피는? ① \(\dfrac{3}{4}\pi\) ② \(\pi\) ③ \(\dfrac{16}{15}\pi\) ④ \(\dfrac{6}{5}\pi\) ⑤ \(\dfrac{4}{3}\pi\) 정답 ③

\(xyz\) 공간에 있어, 평면 \(z=0\) 위의 중심이 원점이고 반지름 \(2\) 인 원을 밑면으로 하고, 점 \((0,\;0,\;1)\) 을 꼭지점으로 하는 원뿔을 \(\rm A\) 라 하자. 또, 평면 \(z=0\) 위의 점 \((1,\;0,\;0)\) 을 중심으로 하는 반지름 \(1\) 인 원을 \(\rm H\), 평면 \(z=1\) 위의 점 \((1,\;0,\;1)\) 을 중심으로 하는 반지름 \(1\) 인 원을 \(\rm K\) 라 하자. \(\rm H\) 와 \(\rm K\) 를 밑면으로 하는 원기둥을 \(\rm B\) 라 하고, 원뿔 \(\rm A\) 와 원기둥 \(\rm B\) 의 공통부분을 \(\rm C\) 라 하자. \(0 \le t \le 1\) 인 실수 \(t\) 에 대하여, ..

오른쪽 그림과 같이 물이 가득 채워져 있는 직원기둥의 물통을 천천히 기울여 물을 쏟다가 밑면의 중심 \(\rm O\) 에 수면이 닿을 때, 멈추었다. 처음 물통에 채워져 있는 물의 양을 \(V\), 남아 있는 물의 양을 \(V_1\) 이라 할 때, \(\dfrac{V_1}{V}\) 의 값은? ① \(\dfrac{2}{3\pi}\) ② \(\dfrac{4}{3\pi}\) ③ \(\dfrac{2}{3} \pi\) ④ \(\dfrac{3}{4} \pi\) ⑤ \(\dfrac{2}{3} \pi\)

자연수 \(n\) 에 대하여 \(f_n (x)= \displaystyle \int x(x+1)^n dx,\;\; f_n (-1) =0\) 일 때, \(\sum \limits _{n=1}^{6} f_n (1)\) 의 값을 구하시오.

오른쪽 그림과 같은 그릇에 물을 넣을 때, 깊이가 \(x\) 이면 수면의 넓이 \(S(x)\) 는 \(S(x)=\dfrac {4}{81} x^3 + \dfrac{2}{9} x +1\) 이고, 수면의 상승 속도는 시각 \(t\) 에 대하여 \(v(t)=6-2t\) 라 한다. 이 때, 이 그릇에 담을 수 있는 물의 부피의 최댓값을 구하시오. (단, 처음에는 그릇에 물이 담겨져 있지 않다.)