수악중독

좌표평면에서 두 점 \(\rm A(5,\;0), \; \rm B(-5,\;0)\) 에 대하여 장축이 선분 \(\rm AB\) 인 타원의 두 초점을 \(\rm F, \;F'\) 이라 하자. 초점이 \(\rm F\) 이고 꼭짓점이 원점인 포물선이 타원과 만나는 두 점을 각각 \(\rm P,\;Q\) 라 하자. \(\overline{\rm PQ}=2\sqrt{10}\) 일 때, 두 선분 \(\rm PF\) 와 \(\rm PF'\) 의 길이의 곱 \(\overline{\rm PF} \times \overline{\rm PF'}\) 의 값은 \(\dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(103\)

자연수 \(n\) 에 대하여 포물선 \(y^2=\dfrac{x}{n}\) 의 초점 \(\rm F\) 를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 하자. \(\overline{\rm PF}+1\) 이고 \(\overline{\rm FQ}=a_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{10} \dfrac{1}{a_n}\) 의 값은? ① \(210\) ② \(205\) ③ \(200\) ④ \(195\) ⑤ \(190\) 정답 ①

포물선 \(y^2=4x\) 의 초점을 \(\rm F\), 준선이 \(x\) 축과 만나는 점을 \(\rm P\), 점 \(\rm P\) 를 지나고 기울기가 양수인 직선 \(l\) 이 포물선과 만나는 두 점을 각각 \(\rm A, \;B\) 라 하자. \(\overline{\rm FA}:\overline{\rm FB}=1:2\) 일 때, 직선 \(l\) 의 기울기는? ① \(\dfrac{2\sqrt{6}}{7}\) ② \(\dfrac{\sqrt{5}}{3}\) ③ \(\dfrac{4}{5}\) ④ \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ⑤ \(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\) 정답 ⑤

그림과 같이 \(x\) 축에 접하는 두 원 \(x^2+(y-10)^2=100,\;\;(x-12)^2+(y-5)^2=25\) 가 두 점 \(\rm P, \;Q\) 에서 만나고 있다. 이때 점 \(\rm P\) 를 초점으로 하고 \(x\) 축을 준선으로 하는 포물선과 점 \(\rm Q\) 를 초점으로 하고 \(x\) 축을 준선으로 하는 포물선이 만나는 두 점 사이의 거리를 구하시오. 정답 \(13\)

그림과 같이 점 \(\rm F(1, \;0)\) 을 지나는 직선이 포물선 \(y^2=4x\) 와 만나는 점을 \(\rm A, \;B\) 라고 하고, 두 점 \(\rm A, \;B\) 에서의 접선이 \(x\) 축과 만나는 점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 하자. \(\angle \rm PAF=\dfrac{\pi}{6}\) 일 때, \(\overline{\rm PQ}\) 의 길이는?① \(2\) ② \(\dfrac{7}{3}\) ③ \(\dfrac{9}{4}\) ④ \(\dfrac{8}{3}\) ⑤ \(3\) 정답 ④삼각형 \(\rm APF\) 가 이등변 삼각형이 되는 것은 다 알고 계실거라 믿습니다.따라서 \( \angle \rm APF= \dfrac{\pi}{6}\) 가 됩니다. 결국 \(\ang..

그림과 같이 좌표평면에서 꼭짓점이 원점 \(\rm O\) 이고 초점이 \(\rm F\) 인 포물선과 점 \(\rm F\) 를 지나고 기울기가 \(1\) 인 직선이 만나는 두 점을 각각 \(\rm A,\;B\) 라 하자. 선분 \(\rm AF\) 를 대각선으로 하는 정사각형의 한 변의 길이가 \(2\) 일 때, 선분 \(\rm AB\) 의 길이는 \(a+b\sqrt{2}\) 이다. \(a^2 +b^2 \) 의 값을 구하시오. (단, \(a,\; b\) 는 정수이다.) 정답 128

아래 그림과 같이 쌍곡선 \( {\displaystyle \frac{x^2}{4}}-y^2 =1\) 과 점 \( {\rm P} \left ( \sqrt{5},\;{\displaystyle \frac{1}{2}} \right ) \) 에서 만나는 타원 \({\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\Large \frac {y^2}{b^2}} =1 \) 이 있다 점 \(\rm P\) 를 접점으로 하는 쌍곡선의 접선과 타원의 접선이 서로 수직으로 만날 때, \(b^2 = {\displaystyle \frac{q}{p}}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p,\;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 9

쌍곡선 \({\dfrac{x^2}{4}}-{\dfrac{y^2}{5}}=1\) 의 두 초점을 \(\rm F,\;F'\) 이라 하자. 쌍곡선 위의 한 점 \(\rm P\) 에 대하여 \(\angle {\rm F'PF}\) 의 이등분선이 \(x\) 축과 점 \({\rm A}(1,\;0)\) 에서 만날 때, 삼각형 \(\rm PF'F\) 의 둘레의 길이를 구하시오. 정답 18

좌표평면에서 원점 \(\rm O\) 를 중심으로 하고, 두 초점 \(\rm F,\;F'\) 이 \(x\) 축 위에 있는 쌍곡선 위의 임의의 점 \(\rm P\) 에 대하여 \(\overline {\rm PF},\;\overline {\rm PO},\;\overline {\rm PF'}\) 이 이 순서대로 등비수열을 이룬다. 이 때, 이 쌍곡선 위의 점 \((x,\;y)\) 에 대하여 \(\lim \limits_{x \to \infty } \left| {\dfrac{y}{x}} \right|\) 의 값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(\Large \frac{1}{2} \) ④ \(\sqrt{3}\) ⑤ \(\Large \frac{\sqrt{3}}{3}\) 정답 ① 관련개념 [수능 수학] - 파푸스의..

점 \({\rm P}(1,\;0)\) 을 지나는 직선 \(l\) 이 포물선 \(y^2 =4x\) 와 만나는 두 점을 각각 \(\rm A,\;B\) 라 하고, \(\rm A,\;B\) 에서 직선 \(x=-1\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm C,\;D\) 라 하자. \(\overline {\rm AC}\;:\;\overline {\rm BD}=3\;:\;2\) 이고, 두 점 \(\rm A,\;B\) 의 \(x\) 좌표를 각각 \(\alpha,\;\beta\) 라 할 때, \(\sqrt{\alpha}-\sqrt{\beta}\) 의 값은? ① \(1\) ② \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ③ \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) ④ \(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) ⑤ \(\d..