수악중독

좌표평면 위의 점 \( (-1, \;0)\) 에서 쌍곡선 \( x^2 - y^2 =2\) 에 그은 접선의 방정식을 \(y=mx+n\) 이라 할 때, \( m^2 +n^2\) 의 값은? (단, \(m, \; n\) 은 상수이다.) ① \(\dfrac{5}{2}\) ② \(3\) ③ \(\dfrac{7}{2}\) ④ \(4\) ⑤ \(\dfrac{9}{2}\) 정답 \(4\) 쌍곡선 \(x^2 - y^2=2\) 에 접하면서 기울기가 \(m\) 인 접선의 방정식은 \( y=mx \pm \sqrt{2m^2-2}\) 가 된다. 이 직선이 점 \((-1, \;0)\) 을 지나야 하므로 \[m=\pm \sqrt{2m^2-2}\] 양변을 제곱하면 \[m^2=2m^2-2\] 따라서 \(m^2=2\) 가 된다.또한 \(n..

그림과 같이 점 \(\rm A(1, \;0)\) 에서 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{3}=1\) 에 그은 접선이 쌍곡선과 만나는 두 점을 각각 \( \rm P, \;Q\) 라 하자. 세 점 \( \rm A, \;P, \;Q\) 를 지나는 원의 내부가 쌍곡선에 의해 나뉘어서 생긴 두 영역 중에서 넓이가 큰 영역을 \( x\) 축의 둘레로 회전시킨 회전체의 부피는 \( V\) 이다. \(\dfrac{V}{\pi}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(26\)

직선 \( y=3x+5\) 가 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a}-\dfrac{y^2}{2}=1\) 에 접할 때, 쌍곡선의 두 초점 사이의 거리는? ① \(\sqrt{7}\) ② \(2\sqrt{3}\) ③ \(4\) ④ \(2\sqrt{5}\) ⑤ \(4\sqrt{3}\) 정답 ④

쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{2} -y^2=1\) 위의 점 \((2, \;1)\) 에서의 접선이 \( y\) 축과 만나는 점의 \( y\) 좌표는? ① \(-2\) ② \(-1\) ③ \(0\) ④ \(2\) ⑤ \(3\) 정답 ②접선의 방정식은 \(\dfrac{2 \cdot x}{2} - 1 \cdot y = 1\) 이므로 이 직선의 \(y\) 절편은 \(-1\) 이다.

그림과 같이 두 초점이 \(\rm F, \; F'\) 인 타원 \(3x^2 +4y^2 =12\) 위를 움직이는 제\(1\)사분면 위의 점 \( \rm P\) 에서의 접선 \(l\) 이 \( x \) 축과 만나는 점을 \( \rm Q\), 점 \( \rm P\) 에서 접선 \(l\) 과 수직인 직선을 그어 \(x\) 축과 만는 점을 \(\rm R\) 라 하자. 세 삼각형 \(\rm PRF, \; PF'R, \; PFQ\) 의 넓이가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 점 \( \rm P\) 의 \(x\) 좌표는? ① \(\dfrac{13}{12}\) ② \(\dfrac{7}{6}\) ③ \(\dfrac{5}{4}\) ④ \(\dfrac{4}{3}\) ⑤ \(\dfrac{17}{12}\) 정답 ④

직선 \( y=2\) 위의 점 \( \rm P\) 에서 타원 \(x^2 +\dfrac{y^2}{2}=1\) 에 그은 두 점선의 기울기의 곱이 \(\dfrac{1}{3}\) 이다. 점 \(\rm P\) 의 \(x\) 좌표를 \(k\) 라 할 때, \(k^2\) 의 값은? ① \(6\) ② \(7\) ③ \(8\) ④ \(9\) ⑤ \(10\) 정답 ②

그림과 같이 좌표평면에서 원점 \(\rm O\) 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(1\) 인 원 위의 점 \( \rm P\) 에서 \(x\) 축에 내린 수선의 발을 \( \rm P'\) 이라 하자. 점 \( \rm P'\) 를 초점으로 하고, \( x\) 축 위에 있는 원의 지름을 장축으로 하는 타원에 대하여 점 \(\rm P\) 에서 타원에 그은 접선 \(l\) 의 기울기가 \(-\dfrac{3}{2}\) 일 때, 직선 \(\rm OP\) 의 기울기는? ① \(\dfrac{7}{6}\) ② \(\dfrac{5}{4}\) ③ \(\dfrac{4}{3}\) ④ \(\dfrac{17}{12}\) ⑤ \(\dfrac{3}{2}\) 정답 ③

자연수 \( n\) 에 대하여 점 \( (-n, \;0)\) 을 지나고 제1사분면에서 포물선 \( y^2=4x\) 에 접하는 직선의 기울기를 \(a_n\) 이라 하자. \(\sum \limits_{n=1}^{10} \left ( \dfrac{1}{a_n} \right )^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(55\)

자연수 \(n\) 에 대하여 직선 \(y=nx+(n+1)\) 이 꼭짓점의 좌표가 \((0, \;0)\) 이고 초점이 \((a_n,\;0)\) 인 포물선에 접할 때, \( \sum \limits_{n=1}^{5} a_n\) 의 값은? ① \(70\) ② \(72\) ③ \(74\) ④ \(76\) ⑤ \(78\) 정답 ①

그림과 같이 포물선 \( y^2=4px\) 의 초점을 \(\rm F\) 라 하고, \(\overline{\rm FA}=10\) 을 만족하는 포물선 위의 점 \({\rm A}(a, \;b)\) 에서의 접선이 \(x\) 축과 만나는 점을 \(\rm B\) 라 하자. 삼각형 \(\rm ABF\) 의 넓이가 \(40\) 일 때, \(ab\) 의 값을 구하시오. (단, \( a