수악중독

좌표평면 위를 움직이는 점 $\rm P$ 의 시각 $t$ 에서의 위치 $(x, \;y)$ 가 $x=4t, \; y=(t+1)^2-2 \ln (t+1)$ 일 때, $t=0$ 에서 $t=3$ 까지 점 $\rm P$ 가 움직인 거리는 $a+b \ln 2$ 이다. 이때, 정수 $a, \;b$ 에 대하여 $a+b$ 의 값을 구하여라. 정답 $19$

좌표평면 위를 움직이는 점 $\rm P$ 의 시각 $ t$ 에서의 위치 $(x, \; y)$ 가 $ x=2t, \; y=t^2-2t+4$ 일 때, 점 $ \rm P$ 의 시각 $t=2$ 에서의 속력은? ① $\sqrt{5}$ ② $ 2\sqrt{2}$ ③ $\sqrt{10}$ ④ $ 2\sqrt{3}$ ⑤ $\sqrt{15}$ 정답 ② $\dfrac{dx}{dt}=2, \;\; \dfrac{dy}{dt}=2t-2$ 이므로 속력 $ \left | \overrightarrow{v} \right | = \sqrt{\left ( \dfrac{dx}{dt} \right )^2 + \left ( \dfrac{dy}{dt} \right) ^2 } = \sqrt{2^2 +(2t-2)^2}$따라서 $t=2$ 에서의 속력..

좌표평면 위에 세 점 $\rm A, \;B, \; D$ 가 있다. 두 선분 $\rm AD, \; BC$ 가 평행하도록 점 $\rm C$ 를 잡을 때, $$ \overrightarrow{\rm AB}=(1, \;-3), \;\; \overrightarrow{\rm BC}=(x, \; y), \;\; \overrightarrow{\rm CD}=(-4, \;1) $$ 이다. $\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm OP} $ 를 만족시키는 점 $\rm P$ 에 대하여 $6 \le x \le 12$ 일 때, 점 $\rm P$ 가 나타내는 도형의 길이는? (단, $\rm O$ 는 원점이고, $xy \ne 0$ 이다.) ① $2\sqrt{10}$ ② $2 \sqrt{11}$ ..

삼각형 $\rm ABC$ 의 내부의 한 점 $\rm P$ 에 대하여 $$2 \overrightarrow{\rm AP} + \overrightarrow{\rm BP} + 3 \overrightarrow{\rm CP} = \overrightarrow{0}$$ 가 성립하고, 세 선분 $\rm AP, \; BP, \; CP$ 의 연장선이 각각 세 변 $\rm BC, \; CA, \; AB$ 와 만나는 점을 각각 $ \rm D, \; E,\; F$ 라고 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $\rm AF:FB=1:2$ㄴ. $2 \overrightarrow{\rm BP} = \overrightarrow{\rm BC} + \overrightarrow{\rm BF}$ㄷ. 삼각형 $ \rm APE$ 의..

그림과 같이 $\overline{\rm AB}=3, \; \overline{\rm BC}=8, \; \overline{\rm CA}=9 $ 인 삼각형 $\rm ABC$ 의 내접원의 중심을 $\rm P$ 라고 하자. $\overrightarrow{\rm AP} = m \overrightarrow{\rm AB} + n \overrightarrow{\rm AC}$ 를 만족시키는 두 실수 $m, \; n$ 에 대하여 $m-n$ 의 값은?① $\dfrac{1}{10}$ ② $\dfrac{1}{5}$ ③ $\dfrac{3}{10}$ ④ $\dfrac{2}{5}$ ⑤ $\dfrac{1}{2}$ 정답 ③

좌표평면에서 점 $(-2, \;1)$ 을 지나고 방향벡터가 $\overrightarrow{u}=(a, \;b)$ 인 직선이 원 $ (x-3)^2+(y-2)^2=1$ 과 만나도록 하는 두 양수 $a, \;b$ 에 대하여 $\dfrac{b}{a}$ 의 최댓값은? ① $\dfrac{1}{4}$ ② $\dfrac{1}{3}$ ③ $\dfrac{5}{12}$ ④ $\dfrac{1}{2}$ ⑤ $\dfrac{7}{12}$ 정답 ③

좌표평면에서 두 직선 $\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y-1}{k}, \;\; 2x-5y+1=0$ 이 서로 수직이 되도록 하는 $0$ 이 아닌 실수 $k$ 의 값은? ① $-\dfrac{15}{2}$ ② $-\dfrac{13}{2}$ ③ $-\dfrac{11}{2}$ ④ $-\dfrac{9}{2}$ ⑤ $-\dfrac{7}{2}$ 정답 ①

좌표평면에서 두 점 $\rm A(3, \;2), \;\; B(-1, \;5)$ 를 지나는 직선을 $l$ 이라 하고, 직선 $\dfrac{x-1}{2}=y+2$ 를 $m$ 이라고 하자. 두 직선 $l$ 과 $m$ 이 이루는 각의 크기를 $\theta \; \left ( 0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2} \right ) $ 라고 할 때, $\cos \theta$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{5}$ ② $\dfrac{\sqrt{2}}{5}$ ③ $\dfrac{\sqrt{3}}{5}$ ④ $\dfrac{2}{5}$ ⑤ $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ 정답 ⑤

좌표공간의 두 점 \(\rm A \left ( 2,\; \sqrt{2}, \; \sqrt{3} \right ), \;\; B \left ( 1, \; -\sqrt{2}, \; 2\sqrt{3} \right )\)에 대하여 점 \(\rm P\) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\left | \overrightarrow {\rm AP} \right | =1 \)(나) \(\overrightarrow{\rm AP}\) 와 \(\overrightarrow{\rm AB}\) 가 이루는 각의 크기는 \(\dfrac{\pi}{6}\) 이다. 중심이 원점이고 반지름의 길이가 \(1\) 인 구 위의 점 \(\rm Q\) 에 대하여 \(\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarro..

좌표공간에서 구 \(S\;:\; x^2 +y^2 + (z-3)^2 =4\) 와 평면 \(x-y+z-6=0\) 이 만나성 생기는 원을 \(C\) 라 하자. 구 \(S\) 위의 점 \({\rm A} \left ( \sqrt{2},\; \sqrt{2},\; 3 \right )\) 과 원 \(C\) 위를 움직이는 점 \(\rm B\) 에 대하여 두 벡터 \(\overrightarrow{\rm OA},\; \overrightarrow{\rm OB}\) 의 내적 \(\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OB}\) 의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오. (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) 정답 \(134\)