수악중독

좌표공간에 두 개의 구 \[ S_1 \;:\; x^2+y^2+(z-3)^2=1,\;\;\; S_2 \;:\; x^2+y^2+(z+3)^2=4\] 가 있다. 점 \({\rm P} \left ( \dfrac{1}{2}, \; \dfrac{\sqrt{3}}{6}, \; 0 \right )\) 을 포함하고, \(S_1\) 과 \(S_2\) 에 동시에 접하는 평면을 \(\alpha\) 라 하자. 점 \({\rm Q} \left ( k, \; -\sqrt{3}, \; 2 \right )\) 가 평면 \(\alpha\) 위의 점일 때, \(120k\) 의 값을 구하시오. 정답 \(40\)

그림과 같이 점 \(\rm O\) 를 중심으로 하고 길이가 \(4\) 인 선분 \(\rm AB\) 를 지름으로 하는 반원이 있다. 이 반원의 내분에 \(\overline{\rm AC}=1\) 인 점 \(\rm C\) 를 잡고, 삼각형 \(\rm ABC\) 의 내접원의 중심을 \(\rm O'\) 이라 하자. 선분 \(\rm AO'\) 의 연장선과 선분 \(\rm BC\) 의 교점을 \(\rm N\), 반원과의 교점을 \(\rm P\) 라 하고, 선분 \(\rm BC\) 의 중점을 \(\rm M\), 선분 \(\rm AM\) 의 연장선과 선분 \(\rm BP\) 의 교점을 \(\rm Q\) 라 하자. \(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}, \; \overrighta..

\(\overline{\rm AB}=1,\; \overline{\rm BC}=3\) 이고, \(\angle \rm B=90^{\rm o}\) 인 직각삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. \((x-5)^2+(y-5)^2=10\) 인 두 실수 \(x, \;y\) 에 대하여 \(\rm P\) 가 \(\overrightarrow{\rm BP}=\dfrac{x \overrightarrow{\rm AB}+ y \overrightarrow{\rm AC}}{x+y}\) 를 만족시킬 때, \(\left | \overrightarrow{\rm AP} \right | ^2\) 의 최댓값은 \(\dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p, \;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(..

좌표평면에서 중심이 각각 \({\rm O}(0,\;0),\; {\rm A}(4, \;0),\; {\rm B}(4,\;6)\) 이고 반지름의 길이가 \(1\) 인 세 원 \(C_1,\; C_2,\;C_3\) 가 있다. 세 점 \(\rm P,\;Q,\;R\) 이 각각 세 원 \(C_1,\;C_2,\;C_3\) 위를 움직일 때, \( \left | \overrightarrow{\rm OP} + \overrightarrow{\rm OQ} + \overrightarrow{\rm OR} \right |\) 의 최솟값을 구하시오. 정답 \(7\)

좌표공간에 구 \(S\; :\; (x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=12\) 와 평면 \(\alpha \; : \; x+y+z=3\) 가 있다. 평면 \(\alpha\) 위의 직선 \(l\) 에 대하여 \(\rm O\) 와 직선 \(l\) 사이의 거리는 \(2\) 이다. \(l\) 과 구 \(S\) 가 만나는 두 점을 각각 \(\rm A, \;B\) 라 할 때, 삼각형 \(\rm OAB\) 의 넓이는? (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) ① \(3\sqrt{2}\) ② \(3\sqrt{3}\) ③ \(4\) ④ \(4\sqrt{2}\) ⑤ \(4\sqrt{3}\) 정답 ④

좌표공간에서 평면 \(\alpha \;:\; ax+y+bz+c=0\) 이 두 구 \[S_1 \;:\; (x-1)^2+(y-1)^2+(z+1)^2=13\] \[ S_2 \; : \; (x+1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=6\] 와 만날 때, \(\alpha\) 와 \(S_1\) 이 만나서 생기는 원을 \(C_1\) 이라 하고, \(\alpha\) 와 \(S_2\) 가 만나서 생기는 원을 \(C_2\) 라 하자. \(C_1\) 의 반지름이 \(3\) 이고, \(C_1 .\;C_2\) 의 중심이 서로 일치할 때, \(a^2+b^2+c^2\) 의 값을 구하시오. (단, \(a,\;b,\;c\) 는 상수이다.) 정답 \(17\)

그림과 같이 꼭짓점이 \(\rm A\), 밑변의 중심이 \(\rm B\) 인 원뿔과 중심이 \(\rm O\) 인 구가 점 \(\rm B\) 에서 접하고 있다. 원뿔의 모선의 길이는 \(5\), 밑면의 반지름의 길이는 \(3\) 이고, 구의 반지름의 길이는 \(4\) 이다. 원뿔의 밑면의 둘레인 원 위의 점 \(\rm P\) 와 구 위의 점 \(\rm Q\) 에 대하여 \(\overrightarrow{\rm AP}\cdot \overrightarrow{\rm AQ}\) 의 최댓값을 구하시오. 정답 \(52\)

좌표공간에서 구 \((x-3)^2+(y-2)^2+(z+2)^2=6\) 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 가 있다. 점 \(\rm P\) 를 \(x\) 축의 양의 방향으로 \(2\) 만큼 평행이동한 점을 \(\rm Q\) 라 할 때, \(\overrightarrow{\rm OP}\cdot \overrightarrow{\rm OQ}\) 의 값이 최대가 되도록 하는 점 \(\rm P\) 의 좌표는 \((a, \;b,\;c)\) 이다. \(a^2+b^2+c^2\) 의 값은? (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) ① \(11\) ② \(19\) ③ \(27\) ④ \(35\) ⑤ \(43\) 정답 ⑤

정의역이 \(\left \{ x | -\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2} \right \}\) 인 함수 \(f(x)=\dfrac{1}{2} \left | \tan x \right |\) 가 있다. \(y\) 축 위의 점 \({\rm A}(0,\;t)\)와 곡선 \(y=f(x)\) 위의 임의의 두 점 \(\rm P, \;Q\) 에 대하여 항상 \(\overrightarrow{\rm PA}\cdot \overrightarrow{\rm AQ}\leq 0\) 가 성립하도록 하는 실수 \(t\) 의 최댓값은 \(a+b \pi\) 이다. \(80(a-b)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(60\)

평면에서 한 점 \(\rm P\) 에서 만나는 두 삼각형 \(\rm ABP, \; CDP\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\overline{\rm AP}=\overline{\rm BP}=2\sqrt{2}\) (나) \(\overline{\rm CP}=\overline{\rm DP}=2\sqrt{5}\) (다) \(\angle \rm APB=\angle \rm CPD=\dfrac{\pi}{4}\) 두 벡터 \(\overrightarrow{\rm AD}, \; \overrightarrow{\rm BC}\) 에 대하여 \(\overrightarrow{\rm AD} \cdot \overrightarrow{\rm BC}=18\sqrt{2}\) 이다. \(\angle \rm APC=\theta\) 라 할..