수악중독

좌표평면 위를 움직이는 점 ${\rm P}(x, y)$ 의 시각 $t$ 에서의 위치가 $$\begin{aligned} x &= \sin t + \cos t \\ y &= \sin t - \cos t \end{aligned} $$이다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $t=\pi$ 에서 점 $\rm P$ 의 속력은 $2$ 이다.ㄴ. 임의의 시각 $t$ 에서 점 $\rm P$ 의 속도 $\overrightarrow{v}$ 와 가속도 $\overrightarrow{a}$ 는 서로 수직이다.ㄷ. 점 $\rm P$ 가 $t=0$ 에서 $t=5$ 까지 움직인 거리는 $5\sqrt{2}$ 이다. ① ㄱ ②ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ④

좌표공간에서 구 $x^2+y^2+z^2-2y+4z-4=0$ 과 평면 $2x-3y-6z+5=0$ 이 만나서 생기는 원의 $yz$ 평면 위로의 정사영의 넓이는? ① $\dfrac{8}{7}\pi$ ② $\dfrac{9}{7}\pi$ ③ $\dfrac{10}{7}\pi$ ④ $\dfrac{11}{7}\pi$ ⑤ $\dfrac{12}{7}\pi$ 정답 ③

중심이 $\rm O_1$ 이고 반지름의 길이가 $4$ 인 구 위의 점 $\rm P$ 와 중심이 $\rm O_2$ 이고 반지름의 길이가 $2$ 인 구 위의 점 $\rm Q$ 가 있다. $\overline{\rm O_1O_2}=6, \; \overline{\rm O_2P}=4$ 일 때, $\left | \overrightarrow{\rm O_1P} + \overrightarrow{\rm O_1Q} \right | $ 의 최댓값이 $a+b \sqrt{22}$ 이다. $a^2+b^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 유리수이다.) 정답 $8$

그림과 같이 삼각형 $\rm ABC$ 에 대하여 꼭짓점 $\rm C$ 에서 선분 $\rm AB$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하자. 삼각형 $\rm ABC$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\overrightarrow{\rm CA} \cdot \overrightarrow{\rm CH}$ 의 값은? (가) 점 $\rm H$ 가 선분 $\rm AB$ 를 $2:3$ 으로 내분한다.(나) $\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm AC}=40$(다) 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이는 $30$ 이다. ① $36$ ② $37$ ③ $38$ ④ $39$ ⑤ $40$ 정답 ①

그림과 같이 선분 $\rm AB$ 위에 $\overline{\rm AE} = \overline{\rm DB}=2$ 인 두 점 $\rm D, \; E$ 가 있다. 두 선분 $\rm AE, \; DB$ 를 각각 지름으로 하는 두 반원의 호 $\rm AE, \; DB$ 가 만나는 점을 $\rm C$ 라 하고, 선분 $\rm AB$ 위에 $\overline{\rm O_1A}= \overline{\rm O_2B}=1$ 인 두 점을 $\rm O_1, \; O_2$ 라 하자. 호 $\rm AC$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 와 호 $\rm DC$ 위를 움직이는 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\left | \overrightarrow{\rm O_1P} + \overrightarrow{\rm O_2Q} \right ..

양의 실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 $f(t)$ 에 대하여 좌표평면 위를 움직이는 점 $\rm P$ 의 시각 $t\;(t\ge 1)$ 에서의 위치 $(x, \;y)$ 가 $\left\{ {\begin{array}{ll}{x = 2\ln t}\\{y = f(t)}\end{array}} \right.$ 이다. 점 $\rm P$ 가 점 $(0, \;f(1))$ 로부터 움직인 거리가 $s$ 가 될 때 시각 $t$ 는 $t=\dfrac{s+\sqrt{s^2+4}}{2}$ 이고, $t=2$ 일 때 점 $\rm P$ 의 속도는 $\left (1, \; \dfrac{3}{4} \right )$ 이다. 시간 $t=2$ 일 때 점 $\rm P$ 의 가속도를 $\left (-\dfrac{1}{2}, \; a ..

좌표공간에서 직선 $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{a} = \dfrac{z+5}{4}$ 에 수직이고, 점 $(1, \;1, \; -2)$ 를 지나는 평면의 방정식을 $2x+5y+bz+c=0$ 이라 할 때, $a+b+c$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b, \; c$는 상수이다.) 정답 $10$

구 $x^2+y^2+(z-1)^2=1$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 가 있다. 점 $\rm P$ 와 평면 $2x-y+2z-7=0$ 사이의 거리의 최댓값을 $d$ 라 할 때, $60d$ 의 값을 구하시오. 정답 $160$

좌표평면 위를 움직이는 점 ${\rm P}(x, \;y)$ 의 시각 $ t$ 에서의 위치가 $$x=\dfrac{4}{3}e^{\frac{3}{2}t}, \;\; y=\dfrac{1}{2}e^{2t}-e^t$$ 일 때, $t=1$ 에서 $t=2$ 까지 점 $\rm P$ 가 움직인 거리를 구하여라. 정답 $\dfrac{1}{2}e^4+\dfrac{1}{2}e^2-e$

좌표평면의 $ x$ 축, $y$ 축 위를 움직이는 두 점 $ \rm A, \; B$ 에 대하여서 시각 $ t\;(t>0)$ 에서의 위치가 ${\rm A} \left ( \dfrac{1}{3} t^3+4t, \; 0 \right ), \;\; {\rm B} \left ( 0, \; \sqrt{13} \right ) $ 이고 $\overrightarrow{\rm OP} = \overrightarrow{\rm OA} + \overrightarrow{\rm OB}$ 라 하자. 점 $\rm P$ 의 속력이 $7$ 일 때, 가속도의 크기는? ① $2$ ② $2\sqrt{2}$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $3\sqrt{2}$ 정답 ②