수학1_수학적 귀납법_난이도 상

자연수 \( N \) 에 대하여 수열 \( \{a_n\} \) 을 \( a_n = n (n+1)(n+2) \cdots (n + N - 1 ) \) 이라 하자. 모든 자연수 \( n \) 에 대하여

    \( \sum\limits_{k = 1}^n a_k = \dfrac{N+n}{N+1}a_n \; \cdots \cdots \cdots \) (★)

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

 

(1) \(n=1\)일 때,

    \( (좌변)=\sum\limits_{k = 1}^1 a_k = a_1 = (가) \)

    \( (우변)=\dfrac{N+1}{N+1}a_1 = a_1 = (가) \)

    이므로  (★)이 성립한다.

(2) \( n=m \) 일 때,  (★)이 성립한다고 가정하면

    \( \sum\limits_{k = 1}^m a_k = \dfrac{N+m}{N+1} a_m \) 이다.

    \( n=m+1 \) 일 때, (★)이 성립함을 보이자.

    \( \sum\limits_{k = 1}^{m+1} a_k = \dfrac{N+m}{N+1}a_m + (나) \)

    \( = \dfrac{1}{N+1} \times \dfrac{(m+N)!}{(m-1)!} + (나) \)

    \( = \dfrac{1}{N+1} \left\{ (다) \right\} \)

    \( = \dfrac{N+m+1}{N+1} a_{m+1} \)

  그러므로 \( n=m+1 \) 일 때도 (★)이 성립한다.

  따라서 모든 자연수 \( n \) 에 대하여  (★)이 성립한다.

 

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

 

	(가)	(나)	(다)
①	\( N! \)	\( \dfrac{(m+N)!}{m!} \)	\( \dfrac{(m+N-1)!}{m!} \)
②	\( (N+1)! \)	\( \dfrac{(m+N-1)!}{m!} \)	\( \dfrac{(m+N)!}{m!} \)
③	\( N! \)	\( \dfrac{(m+N)!}{m!} \)	\( \dfrac{(m+N+1)!}{m!} \)
④	\( (N+1)! \)	\( \dfrac{(m+N)!}{m!} \)	\( \dfrac{(m+N+1)!}{m!} \)
⑤	\( N! \)	\( \dfrac{(m+N-1)!}{m!} \)	\( \dfrac{(m+N)!}{m!} \)

 

 

 

정답 ③