수학1_여러 가지 수열_괄호채우기_난이도 중

모든 항이 양수인 두 수열 \( \{ a_n \} , \; \{ b_n \} \) 이

    \(\sum\limits_{k = 1}^n a_k  = \sum\limits_{k = 1}^n b_k \)

를 만족할 때, 다음은 모든 자연수 \( n \) 에 대하여

    \( \sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{a_{k}^{2}}{a_k + b_k } \geq (다) \sum\limits_{k = 1}^n a_k \) 이 성립함을 증명한 것이다.

 

절대부등식 \( (x+y)^2 \geq 4xy \) 를 이용하면

    \( \sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{a_k b_k}{a _k + b_k}  \le \sum\limits_{k = 1}^n {(가)} =  \dfrac{1}{2} \sum\limits_{k = 1}^n a_k \)

이 성립한다.

    \( \sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{a_k ^2}{a_k + b_k }  = \sum\limits_{k = 1}^n {(나)}  - \sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{a_k b_k}{a_k + b_k} \geq (다)\sum\limits_{k = 1}^n a_k \)

    따라서, 모든 자연수 \( n \) 에 대하여

    \(\sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{a_k ^2}{a_k + b_k}  \geq (다)\sum\limits_{k = 1}^n a_k \) 이 성립한다.

  (단, 등호는 \( a_k = b_k \; (k=1,\;2,\;\cdots,\;n) \) 일 때 성립한다.)

 

위 증명에서 \( (가) , \; (나) , \; (다) \) 에 알맞은 것은?

 

 

	\( (가) \)	\( (나) \)	\( (다) \)
①	\( \dfrac{1}{4} ( a_k + b_k ) \)	\( a_k \)	\( \dfrac{1}{2} \)
②	\( \dfrac{1}{2} ( a_k + b_k ) \)	\( a_k \)	\( \dfrac{1}{2} \)
③	\( \dfrac{1}{4} ( a_k + b_k ) \)	\( a_k \)	\( \dfrac{1}{4} \)
④	\( \dfrac{1}{2} ( a_k + b_k ) \)	\( a_k ^2 \)	\( \dfrac{1}{4} \)
⑤	\( \dfrac{1}{4} ( a_k + b_k ) \)	\( a_k ^2 \)	\( \dfrac{1}{4} \)

 

 

 

정답 ①