수학1_여러 가지 수열_괄호채우기_난이도 중

모든 항이 양수인 두 수열 $\{ a_n \} , \; \{ b_n \}$ 이

    $\sum\limits_{k = 1}^n a_k  = \sum\limits_{k = 1}^n b_k$

를 만족할 때, 다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여

    $\sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{a_{k}^{2}}{a_k + b_k } \geq (다) \sum\limits_{k = 1}^n a_k$ 이 성립함을 증명한 것이다.

 

절대부등식 $(x+y)^2 \geq 4xy$ 를 이용하면

    $\sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{a_k b_k}{a _k + b_k}  \le \sum\limits_{k = 1}^n {(가)} =  \dfrac{1}{2} \sum\limits_{k = 1}^n a_k$

이 성립한다.

    $\sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{a_k ^2}{a_k + b_k }  = \sum\limits_{k = 1}^n {(나)}  - \sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{a_k b_k}{a_k + b_k} \geq (다)\sum\limits_{k = 1}^n a_k$

    따라서, 모든 자연수 $n$ 에 대하여

    $\sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{a_k ^2}{a_k + b_k}  \geq (다)\sum\limits_{k = 1}^n a_k$ 이 성립한다.

  (단, 등호는 $a_k = b_k \; (k=1,\;2,\;\cdots,\;n)$ 일 때 성립한다.)

 

위 증명에서 $(가) , \; (나) , \; (다)$ 에 알맞은 것은?

 

 

	$(가)$	$(나)$	$(다)$
①	$\dfrac{1}{4} ( a_k + b_k )$	$a_k$	$\dfrac{1}{2}$
②	$\dfrac{1}{2} ( a_k + b_k )$	$a_k$	$\dfrac{1}{2}$
③	$\dfrac{1}{4} ( a_k + b_k )$	$a_k$	$\dfrac{1}{4}$
④	$\dfrac{1}{2} ( a_k + b_k )$	$a_k ^2$	$\dfrac{1}{4}$
⑤	$\dfrac{1}{4} ( a_k + b_k )$	$a_k ^2$	$\dfrac{1}{4}$

 

 

 

정답 ①