수학1_여러 가지 수열_괄호채우기_난이도 중

자연수 \( n \) 에 대하여 \( a_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n} \) 로 정의한다. 다음은 \( 2 \) 이상인 모든 자연수 \( n \) 에 대하여 등식

    \( a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-1} = n(a_n -1) \)

이 성립함을 증명한 것이다.

(1) \( n=2 \) 일 때, \( (좌변)=(우변)=(가) \) 이므로 주어진 등식은 성립한다.

(2) \( n=k \) 일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면

    \( a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{k-1} = k(a_k -1 ) \)

  양변에 \( a_k \) 를 더하면

    \( a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_k = (나) \)

  그런데 \( a_k = a_{k+1} - (다) \) 이므로

    \( a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_k = (k+1)(a_{k+1}-1) \)

    그러므로 \( n=k+1 \) 일 때도 성립한다.

    따라서 \( 2 \) 이상인 모든 자연수 \( n \) 에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

 

위 증명에서 \( (가), \; (나), \; (다) \) 에 알맞은 것은?

 

 

	\( (가) \)	\( (나) \)	\( (다)  \)
①	\( 1 \)	\( k a_{k+1} -k \)	\( \dfrac{1}{k} \)
②	\( 1 \)	\( (k+1)a_k -k \)	\( \dfrac{1}{k+1} \)
③	\( 1 \)	\( (k+1)a_k -k \)	\( \dfrac{1}{k} \)
④	\( \dfrac{3}{2} \)	\( ka_{k+1} -k \)	\( \dfrac{1}{k+1} \)
⑤	\( \dfrac{3}{2} \)	\( (k+1)a_k -k \)	\( \dfrac{1}{k+1} \)

 

 

 

정답 ②