수악중독

\(a_1=20,\; a_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n+10\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\) 과 같이 정의된 수열 \(\{a_n\}\) 에서 \(a_{100}\) 에 가장 가까운 정수는? ① \(7\) ② \(9\) ③ \(11\) ④ \(15\) ⑤ \(19\) 정답 ④

\(a_1=2,\; a_{n+1}=10a_n+81\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\) 로 정의된 수열 \(\{a_n\}\) 이 있다. 이때, \(a_{10}\) 의 각 자리의 수의 합은? ① \(68\) ② \(70\) ③ \(72\) ④ \(74\) ⑤ \(76\) 정답 ④

첫째항이 \(1\) 인 수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(S_n=\sum \limits_{k=1}^{n}a_k\) 라 할 때, \[nS_{n+1} =(n+2)S_n +(n+1)^3 \;\; (n \geq 1)\] 이 성립한다. 다음은 수열 \(\{a_n\}\) 의 일반항을 구하는 과정의 일부이다. 자연수 \(n\) 에 대하여 \(S_{n+1}=S_n +a_{n+1}\) 이므로 \[n a_{n+1} = 2S_n +(n+1)^3 \cdots\cdots ㉠\] 이다. \(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 \[(n-1)a_n=2S_{n-1}+n^3 \cdots\cdots ㉡\]이고, ㉠에서 ㉡을 뺀 식으로부터 \[na_{n+1}=(n+1)a_n + (가) \] 를 얻는다. 양변을 \(n(n+1)..

수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1=2\) 이고, \(S_n=\sum \limits_{k=1}^{n} a_k\) 라 할 때, \[a_{n+1}= \dfrac{S_n}{a_n}\;\; (n \geq 1) \] 을 만족시킨다. 다음은 \(S_n\) 을 구하는 과정이다. 주어진 식으로부터 \(a_2=\dfrac{S_1}{a_1}=1\) 이다. \(n\geq 3\) 일 때, \(a_n = \dfrac{S_{n-1}}{a_{n-1}}=\dfrac{S_{n-2}+a_{n-1}}{a_{n-1}}=\dfrac{a_{n-2}a_{n-1}+a_{n-1}}{a_{n-1}}\) 이므로 \(a_n =a_{n-2}+1\) 이다. 따라서 일반항 \(a_n\) 을 구하면, 자연수 \(k\) 에 대하여 \(n=2k-1\) 일 때..

수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1=4\) 이고, \[a_{n+1} = n \cdot 2^n +\sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{a_k}{k} \; (n \geq 1)\]을 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_n\) 을 구하는 과정이다. 주어진 식에 의하여 \[a_n =(n-1) \cdot 2^{n-1} + \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{a_k}{k} \;(n \geq 2)\] 이다. 따라서 \(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_{n+1}-a_n=(가)+\dfrac{a_n}{n} \) 이므로 \(a_{n+1}= \dfrac{(n+1)a_n}{n}+(가)\) 이다. \(b_n=\dfrac{a_n}{n}\) 이라 하면 \(b_{n+1}=b_n..

수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1=-\dfrac{4}{9}\) 이고, \[2^na_{n+1}-2^{n+1}a_n=n \;(n \geq 1)\] 을 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_n\) 을 구하는 과정이다. 주어진 식 \(2^na_{n+1}-2^{n+1}a_n=n\) 의 양변을 \(2^{2n+1}\) 으로 나누면 \[\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\dfrac{a_n}{2^n}=\dfrac{n}{2^{2n+1}} \;(n \geq 1)\] 이므로 \(n \geq 2\) 인 자연수 \(n\) 에 대하여 \[\dfrac{a_n}{2^n}=\dfrac{a_1}{2}+ \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{k}{2^{2k+1}} \; \cdots \cdots (*)\] ..

그림과 같이 크기가 같은 정육면체 모양의 블록을 쌓아 \(10\) 층의 탑 모형을 만들었다. 탐 모형의 위, 앞, 뒤, 오른쪽, 왼쪽에서 보이는 모든 정사각형 모양의 면에 자연수를 \(1\) 부터 차례대로 한 개씩 빠짐없이 썼을 때, 가장 큰 수를 구하시오. 정답 \(761\)

함수 \(y=f(x)\) 는 \(f(3)=f(15)\) 를 만족하고, 그 그래프는 그림과 같다. 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(f(n)=\sum \limits_{k=1}^{n}a_k\) 인 수열 \(\{a_n\}\) 이 있다. \(m\) 이 \(15\) 보다 작은 자연수일 때, \(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_{15}

수열 \(\{a_n\}\) 에서 \(a_1=2\) 이고, \(n \geq 1\) 일 때, \(a_{n+1}\) 은 \[\dfrac{1}{n+2}

일반항이 \(a_n = \dfrac{n(n+1)}{n} \; (n=1, \;2,\;3,\; \cdots)\) 인 수열 \(\{a_n\}\) 에서 \(a_n\) 의 값이 \(6\) 의 배수인 항들을 작은 것부터 차례로 나열한 수열을 \(\{b_n\}\) 이라 할 때, 다음은 \(\sum \limits_{k=1}^{4n}b_k\) 를 구하는 과정이다. \(a_{n+12}-a_n = (가) \) 이므로 \(a_{n+12}-a_n\) 은 \(6\) 의 배수이다. \(\cdots\cdots\) ㉠ \(a_1,\; a_2,\; a_3, \; \cdots ,\; a_{12}\) 중에서 \(6\) 의 배수인 것은 \(a_3=6,\; a_8=36,\; a_{11}=66,\; a_{12}=78\) 이므로 \(b_1=a_3..