수학1_수열_점화식_빈칸채우기_난이도 중

수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1=4\) 이고, \[a_{n+1} = n \cdot 2^n +\sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{a_k}{k} \; (n \geq 1)\]을 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_n\) 을 구하는 과정이다.

 

주어진 식에 의하여 \[a_n =(n-1) \cdot 2^{n-1} + \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{a_k}{k} \;(n \geq 2)\] 이다. 따라서 \(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여

\(a_{n+1}-a_n=(가)+\dfrac{a_n}{n} \) 이므로

\(a_{n+1}= \dfrac{(n+1)a_n}{n}+(가)\) 이다.

\(b_n=\dfrac{a_n}{n}\) 이라 하면

\(b_{n+1}=b_n +\dfrac{(가)}{n+1} \;\; (n \geq 2)\) 이고

\(b_2=3\) 이므로 \(b_n = (나)\;\; (n \geq 2) \) 이다.

그러므로 \({a_n} = \left\{ {\begin{array}{ll} 4&{(n = 1)}\\ {n \times (나) }&{\left( {n \ge 2} \right)}\end{array}} \right.\)

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 \(f(n), \;g(n)\) 이라 할 때, \(f(4)+g(7)\) 의 값은?

 

① \(90\)          ② \(95\)          ③ \(100\)          ④ \(105\)          ⑤ \(110\)

 

 

정답 ④