수악중독

최고차항의 계수가 음수인 이차다항식 $P(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$\{P(x)+x\}^2=(x-a)(x+a)\left (x^2+5 \right )+9$$ 를 만족시킨다. $\{P(a)\}^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a>0$) 더보기 정답 $16$

두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 일차식 $x-a$ 를 인수로 가지는 다항식 $P(x)=x^4-290x^2+b$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 계수와 상수항이 모두 정수인 서로 다른 세 개의 다항식의 곱으로 인수분해된다. 모든 다항식 $P(x)$ 의 개수를 $p$ 라 하고, $b$ 의 최댓값을 $q$ 라 할 때, $\dfrac{q}{(p-1)^2}$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $146$

$x$ 에 대한 이차함수 $y=x^2-4kx+4k^2+k$ 의 그래프와 직선 $y=2ax+b$ 가 실수 $k$ 의 값에 관계없이 항상 접할 때, $a+b$ 의 값은? (단, $a, \; b$ 는 상수이다.) ① $\dfrac{1}{8}$ ② $\dfrac{3}{16}$ ③ $\dfrac{1}{4}$ ④ $\dfrac{5}{16}$ ⑤ $\dfrac{3}{8}$ 더보기 정답 ②

직선 $3x+4y-12=0$ 이 $x$ 축, $y$ 축과 만나는 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하자. 선분 $\rm AB$ 를 $2:1$ 로 내분하는 점을 $\rm P$ 라 할 때, 점 $\rm P$ 를 $x$ 축, $y$ 축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\rm Q, \; R$ 라 하자. 삼각형 $\rm RQP$ 의 무게중심의 좌표를 $(a, \; b)$ 라 할 때, $a+b$ 의 값은? ① $\dfrac{2}{9}$ ② $\dfrac{4}{9}$ ③ $\dfrac{2}{3}$ ④ $\dfrac{8}{9}$ ⑤ $\dfrac{10}{9}$ 더보기 정답 ⑤

그림과 같이 좌표평면 위의 세 점 $\rm A(3, \; 5)$, $\rm B(0, \; 1)$, $\rm C(6, \; -1)$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\rm ABC$ 에 대하여 선분 $\rm AB$ 위의 한 점 $\rm D$ 와 선분 $\rm AC$ 위의 한 점 $\rm E$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 선분 $\rm DE$ 와 선분 $\rm BC$ 는 평행하다. (나) 삼각형 $\rm ADE$ 와 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이의 비는 $1:9$ 이다. 직선 $\rm BE$ 의 방정식이 $y=kx+1$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{8}$ ② $\dfrac{1}{4}$ ③ $\dfrac{3}{8}$ ④ $\dfrac{1}{2}$ ⑤ $\dfrac{5}{8}$ ..

이차식 $f(x)$ 와 일차식 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 $f(x)-g(x)=0$ 이 중근 $1$ 을 갖는다. (나) 두 다항식 $f(x), \; g(x)$ 를 $x-2$ 로 나누었을 때의 나머지는 각각 $2, \; 5$ 이다. 다항식 $f(x)-g(x)$ 를 $x+1$ 로 나누었을 때의 나머지는? ① $-16$ ② $-14$ ③ $-12$ ④ $-10$ ⑤ $-8$ 더보기 정답 ③

그림과 같이 어느 행사장에서 바닥면이 등변사다리꼴이 되도록 무대 위에 $3$ 개의 직사각형 모양의 스크린을 설치하려고 한다. 양옆 스크린의 하단과 중앙 스크린의 하단이 만나는 지점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하고, 만나지 않는 하단의 끝 지점을 각각 $\rm C, \; D$ 라 하자. 사각형 $\rm ACDB$ 는 $\overline{\rm AC}=\overline{\rm BD}$ 인 등변사다리꼴이고 $\overline{\rm CD}=20{\rm m}$, $\angle \rm BAC=120^{\rm o}$ 이다. 선분 $\rm AB$ 의 길이는 선분 $\rm AC$ 의 길이의 $4$ 배보다 크지 않고, 사다리꼴 $\rm ACDB$ 의 넓이는 $75\sqrt{3} \rm m^2$ 이하이다. 중앙 ..

좌표평면 위의 세 점 ${\rm O}(0, \; 0)$, ${\rm A}(6, \; -8)$, ${\rm B}(7, \;-1)$ 을 지나는 원 $C$ 에 대하여 원 $C$ 위의 점 $\rm O$ 에서의 접선을 $l_1$ 이라 하자. 두 삼각형 $\rm OAB$ 와 $\rm OPB$ 의 넓이가 같게 되는 직선 $l_1$ 위의 점을 $\rm P$, 점 $\rm P$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm Q$ 라 할 때, 다음은 선분 $\rm QO$ 의 길이를 구하는 과정이다. (단, 점 $\rm P$ 는 제3사분면 위의 점이다.) 그림과 같이 세 점 $\rm O, \; A, \; B$ 를 지나는 원 $C$ 의 방정식은 $(x-3)^2+(y+4)^2=25$ 이므로 선분 $\rm OA$ 는 원 $C$ 의..

그림과 같이 최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 두 점 ${\rm A}(1, \; 0)$, ${\rm B}(a, \; 0)$ 을 지난다. 이차함수 $y=f(x)$ 의 그래프의 꼭짓점을 $\rm P$, 점 $\rm A$ 를 지나고 직선 $\rm PB$ 에 평행한 직선이 이차함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 만나는 점 중 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm Q$, 점 $\rm Q$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm R$ 이라 하자. 직선 $\rm PB$ 의 기울기를 $m$ 이라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $a>1$) ㄱ. $f(2)=2-a$ ㄴ. $\overline{\rm AR}=3m$ ㄷ. 삼각형 $\rm BRQ$ 의 넓이가 $\df..

좌표평면 위의 세 점 $\rm A, \; B, \; C$ 에 대하여 두 점 $\rm A, \; B$ 의 좌표는 각각 $(0, \; a)$, $(3,\; 0)$ 이고 삼각형 $\rm ABC$ 는 $\overline{\rm AC}=\overline{\rm BC}$ 인 직각이등변삼각형이다. $-1 \le a \le 2$ 일 때, 선분 $\rm OC$ 의 길이의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 하자. $\dfrac{M}{m}$ 의 값은? (단, $\rm O$ 는 원점이다.) ① $\dfrac{14}{3}$ ② $5$ ③ $\dfrac{16}{3}$ ④ $\dfrac{17}{3}$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ②